задача в виде схемы дано, что найти и решение

Краткий ответ. Опора должна стоять в \(3{,}17\) м от конца, где сидит девочка \(30\) кг (и в \(2{,}83\) м от конца с девочкой \(35\) кг). Сила реакции опоры \(N = 900\) Н при \(g = 10\) м/с² (при \(g = 9{,}8\) м/с² — \(882\) Н).

Дано

\(m_1 = 30\) кг, \(m_2 = 35\) кг, \(M = 25\) кг, \(L = 6\) м, \(g \approx 10\) м/с².

Найти: \(x\) — расстояние от конца с девочкой \(m_1\) до точки опоры; \(N\) — силу реакции опоры.

Решение

1. Два условия равновесия. Твёрдое тело покоится, если:

   • сумма всех сил равна нулю;
   • сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю.

2. Выбор оси. Ось для моментов ставим в точку опоры: тогда неизвестная сила \(N\) не входит в уравнение моментов, и можно сразу найти \(x\).

3. Плечи сил. Плечо — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы. Для вертикальных сил тяжести это горизонтальное расстояние:

   • вес девочки \(m_1\) приложен на конце, плечо \(x\);
   • вес девочки \(m_2\) — на другом конце, плечо \(L - x\);
   • вес доски \(Mg\) приложен в её середине (доска однородная), на расстоянии \(L/2\) от края; плечо \(\left|x - \frac{L}{2}\right|\).

4. Направление моментов. Так как \(m_2 > m_1\), центр масс смещён к правому концу, поэтому опора окажется правее середины: \(x > L/2\). Значит, вес доски вращает её в ту же сторону, что и вес \(m_1\), а вес \(m_2\) — в противоположную. Уравнение моментов: \[ m_1 g x + M g\left(x - \frac{L}{2}\right) = m_2 g (L - x). \]

5. Решаем уравнение. Сокращаем \(g\): \[ m_1 x + M x - M\frac{L}{2} = m_2 L - m_2 x, \] \[ (m_1 + m_2 + M)x = m_2 L + M\frac{L}{2}, \] \[ x = \frac{m_2 L + M L/2}{m_1 + m_2 + M}. \] Подставляем числа: \[ x = \frac{35 \cdot 6 + 25 \cdot 3}{30 + 35 + 25} = \frac{210 + 75}{90} = \frac{285}{90} = \frac{19}{6} \approx 3{,}17\ \text{м}. \] Получилось \(x > 3\) м — предположение о направлении момента веса доски подтвердилось.

6. Сила реакции. Из условия равенства сил по вертикали: \[ N = (m_1 + m_2 + M)g = 90 \cdot 10 = 900\ \text{Н}. \]

Проверка

• Центр масс. Положение общего центра масс: \[ x_c = \frac{m_1 \cdot 0 + m_2 L + M \cdot L/2}{m_1 + m_2 + M} = \frac{0 + 35 \cdot 6 + 25 \cdot 3}{90} = 3{,}17\ \text{м}. \] Опора стоит ровно под центром масс — иначе доска бы поворачивалась. Это общее правило для таких задач.
• Моменты относительно левого конца: \[ N x = 900 \cdot \frac{19}{6} = 2850\ \text{Н}\cdot\text{м}, \] \[ m_2 g L + M g \frac{L}{2} = 35 \cdot 10 \cdot 6 + 25 \cdot 10 \cdot 3 = 2100 + 750 = 2850\ \text{Н}\cdot\text{м}. \] Совпало.

Ответ: \(x \approx 3{,}17\) м от конца, где сидит девочка \(30\) кг (\(2{,}83\) м от другого конца); \(N = 900\) Н (или \(882\) Н при \(g = 9{,}8\) м/с²).

Что запомнить

• Реакция опоры при равновесии равна суммарному весу тел: \(N = (m_1 + m_2 + M)g\).
• Положение опоры ищут из уравнения моментов; ось удобно брать в точке опоры, чтобы неизвестная сила выпала.
• Опора всегда оказывается под общим центром масс: она смещена в сторону более тяжёлой девочки.