Решить методом интервала

На доске 11 неравенств — решаю все.

Краткие ответы

1. \((x-10)(x-2)\le 0\)
   \[ x\in[2;10] \]

2. \(x(x+5)\ge 0\)
   \[ x\in(-\infty;-5]\cup[0;+\infty) \]

3. \(x(x-6)(x+4)>0\)
   \[ x\in(-4;0)\cup(6;+\infty) \]

4. \((1-x)(2-x)(3-x)<0\)
   \[ x\in(1;2)\cup(3;+\infty) \]

5. \(\dfrac{x+4}{x+9}\ge 0\)
   \[ x\in(-\infty;-9)\cup[-4;+\infty) \]

6. \(\dfrac{3x}{2-x}>0\)
   \[ x\in(0;2) \]

7. \(x^2-3x+2\le 0\)
   \[ x\in[1;2] \]

8. \(-x^2-2x+24>0\)
   \[ x\in(-6;4) \]

9. \(x^2-1\ge 0\)
   \[ x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty) \]

10. \(x^2+5x-14>0\)
    \[ x\in(-\infty;-7)\cup(2;+\infty) \]

11. \(\dfrac{x^2-x-12}{x+3}\le 0\)
    \[ x\in(-\infty;-3)\cup(-3;4] \]

Как работает метод интервалов

1. Разложи выражение на множители.
2. Найди нули числителя и знаменателя.
3. Отметь их на числовой прямой:
   • нули числителя при \(\le\) и \(\ge\) включаются;
   • нули знаменателя никогда не включаются.
4. Определи знак выражения на каждом промежутке, подставив удобную точку.
5. Выбери промежутки с нужным знаком.

Например, в №1 нули \(2\) и \(10\). Между ними выражение отрицательно, поэтому при \(\le 0\) берём отрезок \([2;10]\).

В №8: \[ -x^2-2x+24>0 \] умножаем на \(-1\), меняя знак неравенства: \[ x^2+2x-24<0 \] \[ (x+6)(x-4)<0 \] Поэтому \(x\in(-6;4)\).

В №11 особенно важно: \[ \frac{x^2-x-12}{x+3} = \frac{(x-4)(x+3)}{x+3} \] Сокращать можно только при \(x\ne -3\). После сокращения получаем \(x-4\le0\), то есть \(x\le4\), но точку \(-3\) обязательно исключаем.

Проверка: например, в №11 при \(x=0\): \[ \frac{-12}{3}=-4\le0 \] верно, а при \(x=5\): \[ \frac{25-5-12}{8}=1>0 \] неверно, значит \(5\) в ответ не входит.