Реши уравнение 3x² − 24x + 21 =
Для стандартной записи \(3x^2-24x+21=0\) корни: \[ x_1=1,\qquad x_2=7. \]
Как решать:
- Замечаем общий множитель 3: \[ 3x^2-24x+21=0 \quad\Rightarrow\quad x^2-8x+7=0. \]
- Ищем числа, которые в сумме дают \(8\), а в произведении \(7\). Это \(1\) и \(7\), поэтому: \[ x^2-8x+7=(x-1)(x-7). \]
- Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1, \qquad x-7=0 \Rightarrow x=7. \]
Проверка: \[ 3\cdot1^2-24\cdot1+21=3-24+21=0; \] \[ 3\cdot7^2-24\cdot7+21=147-168+21=0. \]
Если после знака «=» стоит не \(0\), напиши это число — тогда решение изменится.
Обсуждение
6 сообщенийНапиши проверку
По фото это задание на разложение на множители, поэтому проверяем именно его:
\[ 3x^2-24x+21=3(x^2-8x+7)=3(x-1)(x-7). \]
Проверка — раскрываем скобки:
\[ 3(x-1)(x-7)=3(x^2-7x-x+7)= \] \[ =3(x^2-8x+7)=3x^2-24x+21. \]
Получили исходное выражение, значит разложение верное.
Если записывать проверку для уравнения \(3x^2-24x+21=0\), то его корни \(x_1=1\), \(x_2=7\):
\[ 3\cdot1^2-24\cdot1+21=3-24+21=0, \] \[ 3\cdot7^2-24\cdot7+21=147-168+21=0. \]
Оба корня подходят.
Покажи решение через выделение полного квадрата
Для уравнения \[ 3x^2-24x+21=0 \] выделим полный квадрат.
Сначала вынесем множитель 3: \[ 3x^2-24x+21=3(x^2-8x+7). \]
Теперь выделим полный квадрат в выражении \(x^2-8x\): \[ x^2-8x=(x-4)^2-16. \]
Подставляем: \[ 3(x^2-8x+7)=3\bigl((x-4)^2-16+7\bigr)= \] \[ =3\bigl((x-4)^2-9\bigr). \]
Получили: \[ 3\bigl((x-4)^2-9\bigr)=0. \]
Разделим на 3: \[ (x-4)^2-9=0, \] \[ (x-4)^2=9. \]
Отсюда: \[ x-4=3 \quad \text{или} \quad x-4=-3. \]
Значит: \[ x_1=7,\qquad x_2=1. \]
Разложение на множители: \[ 3x^2-24x+21=3\bigl((x-4)^2-9\bigr)= \] \[ =3(x-4-3)(x-4+3)=3(x-7)(x-1). \]
Ответ: корни \(x_1=1,\ x_2=7\); разложение: \[ 3x^2-24x+21=3(x-1)(x-7). \]
Покажи решение через выделение полного квадрата
По фото уравнение читается так: \[ \frac{4x+4}{3x^2+2x-1}=3x+2 \] правый край немного обрезан; если справа не \(3x+2\), уточни.
1. ОДЗ. Разложим знаменатель: \[ 3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1), \] поэтому \[ x\ne \frac13,\qquad x\ne -1. \]
2. Сокращаем дробь. Числитель: \[ 4x+4=4(x+1). \] Тогда \[ \frac{4(x+1)}{(3x-1)(x+1)}=3x+2, \] \[ \frac{4}{3x-1}=3x+2. \]
3. Умножаем крест-накрест: \[ 4=(3x+2)(3x-1), \] \[ 4=9x^2+3x-2, \] \[ 9x^2+3x-6=0. \] Разделим на \(3\): \[ 3x^2+x-2=0. \]
4. Выделяем полный квадрат: \[ x^2+\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=0, \] \[ \left(x+\frac{1}{6}\right)^2-\frac{1}{36}-\frac{2}{3}=0. \] Так как \(\frac{2}{3}=\frac{24}{36}\), получаем: \[ \left(x+\frac{1}{6}\right)^2=\frac{25}{36}. \] Значит, \[ x+\frac{1}{6}=\pm\frac{5}{6}. \] Отсюда: \[ x_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\qquad x_2=-1. \]
Но \(x=-1\) не входит в ОДЗ: при нём исходный знаменатель равен нулю.
Ответ: \[ \boxed{x=\frac{2}{3}}. \]
Проверка: при \(x=\frac23\) левая часть равна \(4\), правая: \[ 3\cdot\frac23+2=2+2=4. \] Всё сходится.
