Упражнения
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Верх страницы (частично обрезан): 1) уравнение вида \(\sqrt[2k]{f(x)}=g(x)\), где \(k\in N\), равносильно системе: \(g(x)\ge 0\), \(f(x)=g^{2k}(x)\); 2) уравнение вида \(\sqrt[2k]{f(x)}=\sqrt[2k]{g(x)}\), где \(k\in N\), равносильно системе: \(f(x)=g(x)\), \(f(x)\ge 0\) (можно заменить на \(g(x)\ge 0\)).
Упражнения
151 (Устно.) Решить уравнение:
- \(\sqrt{x}=2\); 2) \(\sqrt{x}=7\); 3) \(\sqrt[3]{x}=2\); 4) \(\sqrt[3]{x}=-3\);
- \(\sqrt{-3x}=0\); 6) \(\sqrt{x}=1\); 7) \(\sqrt{2-x}=0\).
Решить уравнение (152—161).
- \(\sqrt{x+1}=3\); 2) \(\sqrt{x-2}=5\); 3) \(\sqrt{4+x}=\sqrt{2x-1}\).
- \(\sqrt[3]{2x+3}=1\); 2) \(\sqrt[3]{1-x}=2\); 3) \(\sqrt[4]{3x^{2}-3}=\sqrt[4]{8x}\).
- \(x+1=\sqrt{1-x}\); 2) \(x=1+\sqrt{x+11}\); 3) \(\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}\); 4) \(\sqrt{x^{2}-x-3}=3\).
- \(\sqrt{x}-x=-12\); 2) \(x+\sqrt{x}=2(x-1)\); 3) \(\sqrt{x-1}=x-3\); 4) \(\sqrt{6+x-x^{2}}=1-x\).
- \(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{5x+\sqrt{14-x}}=8\); 3) \(\sqrt{15+x+\sqrt{3+x}}=6\); 4) \(\sqrt{3-2x-\sqrt{1-x}}=1\) [в 2)–4) границы внутренних корней видны нечётко].
- \(\sqrt{x^{2}+2+\sqrt{x^{2}+1}}=0\); 2) \(\sqrt[3]{1+x^{3}}=\sqrt[3]{1+x^{2}}\) [в 1) подкоренное выражение неразборчиво].
- \(\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}=2\); 2) \(\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}=1\); 3) \(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=0\); 4) \(\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9\).
- \(\sqrt{1-2x-\sqrt{13+x}}=\sqrt{x+4}\); 2) \(\sqrt{x+1-\sqrt{6-x}}=\sqrt{15+2x}\).
- \(\sqrt[3]{x-2}=2\); 2) \(\sqrt[3]{2x+7}=\sqrt[3]{3(x-1)}\); 3) \(\sqrt[4]{25x^{2}-144}=x\); 4) \(x^{2}=\sqrt{19x^{2}-34}\) [в 3) показатель степени при x читается неоднозначно].
- \(\sqrt[3]{x^{2}-2}=x-2\); 2) \(\sqrt[3]{x^{3}-5x^{2}+16x-5}=x-2\).
- Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:
- \(\sqrt{x-6}=-x^{2}\); 2) \(\sqrt[3]{x}=(x-1)^{2}\); 3) \(\sqrt{x+1}=x^{2}-7\); 4) \(x^{3}-1=\sqrt{x+1}\).
- Решить уравнение:
- \(\sqrt{4x+2\sqrt{3x^{2}+4}}=x+2\);
- \(3-x=\sqrt{9-36x^{2}-5x^{4}}\) [неразборчиво];
- \(\sqrt{x^{2}+3x+12}-\sqrt{x^{2}+3x}=2\);
- \(\sqrt{x^{2}+5x+10}-\sqrt{x^{2}+5x+3}=1\).
На фото — вся страница: упражнения 151–163 (плюс теория и разобранные примеры сверху), а не одно задание. Угадывать номер не буду: напиши, какое именно нужно, например «155, 3)», — и я разберу его по шагам, чтобы ты смог решить похожее сам.
Общий принцип со страницы, который нужен почти везде:
- \(\sqrt{f}=g\) — это не просто «возвели в квадрат». Правильный переход: \(g\ge 0\) и \(f=g^{2}\). Без условия \(g\ge 0\) появляются лишние корни — как в примере 1, где \(x=-3\) оказался посторонним.
- \(\sqrt{f}=\sqrt{g}\) — достаточно \(f=g\) и \(f\ge 0\) (тогда автоматически и \(g\ge 0\)).
- Корни нечётной степени (\(\sqrt[3]{\ },\ \sqrt[5]{\ }\)) опасности не несут: \(\sqrt[3]{F}=G \iff F=G^{3}\), проверка не нужна.
- Если радикалов несколько (пример 2), сначала оставляем один корень на отдельной стороне, возводим в квадрат, упрощаем — и только потом возводим снова. И всё равно проверяем корни подстановкой в исходное уравнение.
Проверка результата: подставь найденное число в исходное равенство; если подкоренное выражение отрицательно или знаки не сходятся — корень посторонний.
