Параграф понятными словами чтобы каждая мысль была не упущена
Сверь числа и знаки с фото.
§ 9. СКОРОСТЬ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ С ПОСТОЯННОЙ ПО МОДУЛЮ СКОРОСТЬЮ В природе и технике часто встречается движение, траектория которого представляет собой кривую линию, — криволинейное движение. Криволинейным является движение космических тел, Солнца, планет, звёзд. Используя закономерности криволинейного движения, астрономы рассчитывают положения планет на много лет вперёд и назад, а учёные и конструкторы проектируют машины и технические сооружения. При прямолинейном движении мгновенная скорость тела всегда направлена вдоль линии движения. А что можно сказать о направлении мгновенной скорости, если движение криволинейное?
Рис. 22. Мгновенная скорость в каждой точке направлена по касательной к кривой в этой точке [Рисунок: кривая из точки A в точку B; та же траектория, разбитая на прямолинейные участки; вектор скорости, направленный по касательной; внизу вращающийся точильный камень и сноп искр] Рассмотрим тело, которое движется из точки A в точку B по некоторой криволинейной траектории (рис. 22, а). Разобьём траекторию на небольшие прямолинейные участки и будем считать, что тело движется именно по ним (рис. 22, б). Если уменьшать длину этих участков (увеличивая их число), то ломаная линия будет всё меньше отличаться от плавной кривой. При этом векторы перемещений уменьшаются по модулю, как бы стягиваясь в точки, а их направления приближаются к направлениям касательных к кривой. Вектор мгновенной скорости направлен так же, как и вектор перемещения, поэтому скорость в каждой точке направлена по касательной к кривой в этой точке (рис. 22, в). Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Подтвердить этот вывод можно на опыте. Если к быстро вращающемуся точильному камню электроточила приложить стальной прут, то из-под него будут вырываться искры (рис. 23). Это мелкие раскалённые частицы стали и камня. После отрыва от камня эти частицы двигаются прямолинейно со скоростью, равной скорости в момент отрыва. Опыт показывает, что направление движения частиц, а значит, и вектор их скорости совпадает с касательной к окружности, по которой они двигались. Существует бесчисленное множество различных криволинейных траекторий. Но часто криволинейное движение за достаточно малые промежутки времени можно приблизительно [обрезано] Рис. 23. Искры из-под стального прута, прижатого к вращающемуся точильному камню, летят по касательной к окружности в точке отрыва Рис. 24. Траектория ABCDEF может быть представлена в виде совокупности дуг окружностей разных радиусов \(T = \frac{1}{\nu}\) \(v = \frac{2\pi R}{T}\)
Учитывая, что \(T = \frac{1}{\nu}\), а значит, \(\nu = \frac{1}{T}\), \(v = 2\pi R\nu\). Модуль скорости \(v\) тела (точки), движущегося по окружности, часто называют линейной скоростью. Пусть за время \(t\) тело, двигаясь по окружности с постоянной по модулю скоростью, повернулось на угол \(\varphi\) (рис. 25). Отношение угла \(\varphi\) поворота тела (точки), движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, к промежутку времени \(t\), за который этот поворот произошёл, называют угловой скоростью \(\omega\). \[\omega = \frac{\varphi}{t}\] В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с), т. е. такая угловая скорость, при которой за 1 с точка поворачивается на угол, равный 1 рад. За время, равное периоду обращения, тело поворачивается на угол \(2\pi\). Поэтому \(\omega = \frac{2\pi}{T}\). Как было показано ранее, \(v = \frac{2\pi R}{T}\). Значит, линейная и угловая скорости связаны соотношением: \[v = \omega R\] При движении тела по окружности модуль вектора скорости может меняться или оставаться постоянным, но направление вектора скорости обязательно меняется, т. е. вектор [обрезано] Рис. 25. Поворот точки на угол \(\varphi\) 1 Радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад = \(\frac{360^{\circ}}{2\pi} \approx 57^{\circ}17'48''\).
[обрезано] скорости тела, движущегося по окружности, является величиной переменной. Значит, движение по окружности всегда происходит с ускорением. Получить представление о направлении ускорения, с которым тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, можно по рисунку 26. На нём изображено тело (материальная точка), движущееся по окружности радиусом \(R\). За очень малый промежуток времени \(\Delta t\) это тело переходит из точки \(A\) в точку \(B\), которая расположена очень близко к точке \(A\). При стремлении к нулю промежутка времени \(\Delta t\) точка \(B\) стремится к точке \(A\), угол \(\alpha\) — к нулю, а угол \(DBC\) — к \(90^{\circ}\), т. е. при \(\Delta t \to 0\) вектор ускорения \(\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{\Delta t}\), который совпадает по направлению с вектором изменения скорости \(\vec{v} - \vec{v}_0\), направлен вдоль радиуса к центру окружности. Пусть все участки траектории тела, движущегося с постоянной по модулю скоростью, представляют собой дуги окружностей (см. рис. 24). Тогда ускорение тела в любой точке этой траектории будет направлено к центру соответствующей окружности. Ускорение, с которым тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, в любой точке направлено по радиусу окружности к её центру. Поэтому его называют центростремительным. Модуль вектора центростремительного ускорения \(a_{\text{ц.с}}\) тела, движущегося с постоянной по модулю скоростью \(v\) по окружности радиусом \(R\), определяется по формуле: \[a_{\text{ц.с}} = \frac{v^2}{R}\] Покажем, как можно получить формулу для модуля центростремительного ускорения. Рис. 26. Вектор центростремительного ускорения тела направлен вдоль радиуса к центру окружности
Рассмотрим треугольники \(DBC\) и \(ABO\) (см. рис. 26). Они подобны, как равнобедренные с равными углами \(\alpha\) при вершинах. Значит, \[\frac{|\vec{v} - \vec{v}_0|}{|\vec{v}|} = \frac{AB}{R}\] За малый промежуток времени \(\Delta t\) тело совершает перемещение, модуль которого \(AB = |\vec{v}|\Delta t\). Поэтому можно написать: \[\frac{|\vec{v} - \vec{v}_0|}{|\vec{v}|} = \frac{|\vec{v}|\Delta t}{R}, \text{ или } \frac{|\vec{v} - \vec{v}_0|}{\Delta t} = \frac{|\vec{v}|^2}{R}, \text{ или } |\vec{a}| = \frac{|\vec{v}|^2}{R}\]
- Опишите опыт, с помощью которого можно убедиться в том, что мгновенная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, в любой точке этой окружности направлена по касательной к ней. 2. Что такое частота обращения; период обращения? 3. Как связаны между собой период и частота обращения? 4. Что называют линейной скоростью; угловой скоростью? 5. Как направлено ускорение тела при его движении по окружности с постоянной по модулю скоростью? Как называют это ускорение? 6. По какой формуле можно вычислить модуль вектора центростремительного ускорения? Ссылаясь на формулу \(a_{\text{ц.с}} = \frac{v^2}{R}\), Петя утверждал, что центростремительное ускорение обратно пропорционально радиусу окружности. Подставив в эту формулу выражение \(v = \omega R\), его друг Гоша получил, что \(a_{\text{ц.с}} = \omega^2 R\) и сделал вывод, что центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу окружности. Кто из ребят прав?
Коротко. Весь §9 — это одна цепочка рассуждений: тело движется по кривой → его мгновенная скорость в каждой точке направлена по касательной → любую кривую можно приблизить дугами окружностей, поэтому главный случай — движение по окружности → его описывают периодом \(T\), частотой \(\nu\), линейной скоростью \(v\) и угловой \(\omega\), причём \(v = \omega R\) → раз направление скорости всё время меняется, движение идёт с ускорением, направленным к центру: \(a = \frac{v^2}{R}\).
1. О чём параграф и зачем он нужен
В природе и технике часто встречается движение, траектория которого — кривая линия. Это криволинейное движение. Примеры из текста: движение космических тел, Солнца, планет, звёзд. Польза прямая: по закономерностям криволинейного движения астрономы рассчитывают положение планет на много лет вперёд и назад, а учёные и конструкторы проектируют машины и технические сооружения.
Дальше — сравнение: при прямолинейном движении мгновенная скорость всегда направлена вдоль линии движения. И сразу вопрос: а куда она направлена при криволинейном?
2. Главная мысль: скорость — по касательной
Рассуждение в тексте (рис. 22):
- Тело идёт из \(A\) в \(B\) по кривой.
- Заменяем кривую ломаной из маленьких прямых участков — считаем, что тело едет по ним.
- Чем короче участки (чем их больше), тем меньше ломаная отличается от плавной кривой.
- Векторы перемещений при этом уменьшаются по модулю, «стягиваются» в точки, а их направления приближаются к направлениям касательных к кривой.
- Мгновенная скорость направлена так же, как вектор перемещения за очень малое время. Значит, скорость в каждой точке — по касательной к кривой.
Опыт (рис. 23): к быстро вращающемуся точильному камню прижимают стальной прут — из-под него вырываются искры. Это мелкие раскалённые частицы стали и камня. Оторвавшись, они летят прямолинейно со скоростью, которая была в момент отрыва, то есть по касательной к окружности камня. Опыт подтверждает вывод.
Итог: мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.
Почему это важно: при криволинейном движении направление скорости меняется всё время. Значит, даже при постоянном модуле меняется сам вектор скорости.
3. Почему дальше говорят про окружность
Кривых бесконечно много, но маленький кусок любой кривой почти совпадает с дугой окружности. Поэтому траекторию можно представить как набор дуг разных радиусов (рис. 24) и разобрать простейший «кирпичик» — движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. (Страница 39 в кадр не попала: там вводятся период и частота обращения, а на с. 40 уже используются формулы \(T = \frac{1}{\nu}\) и \(v = \frac{2\pi R}{T}\).)
4. Слова, которыми описывают движение по окружности
- Период обращения \(T\) — время одного полного оборота.
- Частота обращения \(\nu\) — сколько оборотов за единицу времени: \(\nu = \frac{1}{T}\).
- Линейная скорость \(v\) — модуль скорости точки вдоль окружности. За один оборот точка проходит путь \(2\pi R\) (длину окружности), поэтому \(v = \frac{2\pi R}{T} = 2\pi R\nu\).
- Угол поворота \(\varphi\) (рис. 25) — на сколько повернулся радиус, проведённый из центра к точке.
- Угловая скорость \(\omega = \frac{\varphi}{t}\) — угол поворота за время \(t\), «как быстро крутится стрелка из центра». В СИ — рад/с: за 1 с поворот на 1 рад.
- Радиан — центральный угол, опирающийся на дугу длиной в радиус; \(1\) рад \(= \frac{360^{\circ}}{2\pi} \approx 57^{\circ}17'48''\).
- За время одного периода тело поворачивается на \(2\pi\) (полный круг), поэтому \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).
- Связь двух скоростей: \[v = \omega R.\]
Смысл \(v = \omega R\) простой: \(\omega\) говорит, как быстро поворачивается радиус, а \(v\) — сколько метров точка проходит за секунду. Чем дальше точка от центра, тем больше метров за тот же оборот, поэтому при той же угловой скорости линейная скорость больше.
И ещё раз, отдельной строкой в параграфе: модуль вектора скорости может быть постоянным, но направление вектора обязательно меняется, то есть вектор скорости — величина переменная.
5. Почему появляется ускорение и куда оно направлено
Ускорение — быстрота изменения скорости. Скорость — вектор. Если меняется только направление, скорость всё равно другая, значит, есть ускорение. Поэтому движение по окружности всегда происходит с ускорением.
Куда оно направлено (рис. 26): за очень малый промежуток \(\Delta t\) тело переходит из \(A\) в \(B\), точка \(B\) совсем рядом. Скорости \(\vec v_0\) и \(\vec v\) равны по модулю, но различаются направлением. При \(\Delta t \to 0\) точка \(B\) стремится к \(A\), угол \(\alpha\) — к нулю, а угол \(DBC\) — к \(90^{\circ}\). Вектор изменения скорости \(\vec v - \vec v_0\), а с ним и ускорение \(\vec a = \frac{\vec v - \vec v_0}{\Delta t}\), направлен вдоль радиуса к центру окружности.
Такое ускорение называют центростремительным. Если траектория — набор дуг, ускорение направлено к центру соответствующей дуги. Модуль:
\[a_{\text{ц.с}} = \frac{v^2}{R}.\]
6. Откуда берётся формула \(a = \frac{v^2}{R}\)
- Треугольники \(DBC\) и \(ABO\) равнобедренные с равными углами \(\alpha\) при вершинах, значит, подобны.
- Из подобия: \(\frac{|\vec v - \vec v_0|}{|\vec v|} = \frac{AB}{R}\).
- За малый промежуток \(\Delta t\) перемещение \(AB = v\Delta t\): скорость за это время почти не меняется по модулю, а дуга почти не отличается от отрезка.
- Подставляем: \(\frac{|\vec v - \vec v_0|}{|\vec v|} = \frac{v\Delta t}{R}\), откуда \(\frac{|\vec v - \vec v_0|}{\Delta t} = \frac{v^2}{R}\), то есть \(a = \frac{v^2}{R}\).
Проверка единиц: \(\frac{(\text{м/с})^2}{\text{м}} = \text{м/с}^2\) — действительно ускорение.
Проверка смысла: быстрее движение при том же радиусе — круче поворот — больше ускорение; больше радиус — плавнее поворот — меньше ускорение.
7. Проверка и спор Пети с Гошей
Подставим \(v = \omega R\): \(a = \frac{v^2}{R} = \frac{(\omega R)^2}{R} = \omega^2 R\). Обе записи верны.
Спор из параграфа: Петя говорит, что ускорение обратно пропорционально \(R\), Гоша — что прямо пропорционально. Правы оба, но при разных условиях: по формуле \(\frac{v^2}{R}\) при постоянной линейной скорости ускорение падает с ростом \(R\); по формуле \(\omega^2 R\) при постоянной угловой скорости оно растёт с ростом \(R\), потому что точка на краю бежит быстрее. Подставлять \(v = \omega R\) и делать вывод, не уточнив, что именно постоянно, нельзя.
Числовая проверка (данные мои, для самоконтроля): \(R = 0{,}5\) м, \(T = 2\) с.
\[v = \frac{2\pi\cdot 0{,}5}{2} \approx 1{,}57\ \text{м/с},\quad \omega = \frac{2\pi}{2} \approx 3{,}14\ \text{рад/с}\]
Проверяю связь: \(v = \omega R = 3{,}14\cdot 0{,}5 = 1{,}57\) — сходится. Ускорение: \(a = \frac{1{,}57^2}{0{,}5} \approx 4{,}9\ \text{м/с}^2\), и \(a = \omega^2 R = 9{,}87\cdot 0{,}5 \approx 4{,}9\ \text{м/с}^2\) — тоже сходится.
8. Короткие ответы на вопросы параграфа
- Опыт с точильным камнем и искрами: искры летят по касательной к окружности.
- Частота — число оборотов за единицу времени; период — время одного оборота.
- \(T = \frac{1}{\nu}\), \(\nu = \frac{1}{T}\).
- Линейная скорость — модуль скорости вдоль окружности; угловая — \(\omega = \frac{\varphi}{t}\).
- Ускорение направлено по радиусу к центру; его называют центростремительным.
- \(a_{\text{ц.с}} = \frac{v^2}{R}\), или \(\omega^2 R\).
Что запомнить: при криволинейном движении скорость в точке направлена по касательной; направление скорости меняется, поэтому есть ускорение; при равномерном движении по окружности оно центростремительное, \(a = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\), а \(v = \omega R\).
Обсуждение
2 сообщенияЧто тут проводится за опыт по окружностям
Коротко: на этой странице описан опыт с вращающимся точильным камнем и стальным прутом. Из-под прута летят искры — раскалённые частицы стали и камня. Они вылетают по касательной к окружности камня. Этим и подтверждают, что мгновенная скорость при движении по окружности направлена по касательной.
Как проводится опыт
- Точильный камень электроточила быстро вращают.
- К нему прижимают стальной прут.
- В месте касания вырывается сноп искр — мелких раскалённых частиц металла и камня.
Что при этом происходит
Пока частица «держится» на поверхности камня, она движется вместе с ней по окружности. В момент отрыва связь с камнем исчезает, и частица летит дальше прямолинейно по инерции — с той скоростью, которая у неё была в момент отрыва. Направление этого прямолинейного полёта и есть направление мгновенной скорости, то есть касательная к окружности в точке отрыва.
Поэтому искры расходятся «веером» прямых лучей, а не летят от центра или по радиусу. Если бы скорость была направлена к центру, искры летели бы внутрь камня; если бы от центра — радиально наружу. Опыт показывает именно касательное направление.
Что этим доказывают
Вывод из рисунка 22: мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Опыт с камнем — наглядное подтверждение: окружность камня является простейшей криволинейной траекторией, а искры показывают направление скорости в разных её точках.
Это качественный опыт: им не измеряют скорость, а только показывают её направление. Рисунок 24, где траекторию заменяют дугами окружностей, — уже не опыт, а способ рассуждения: сложную кривую можно приближённо представить как набор дуг.
Важно: такой опыт показывает только учитель, с защитными очками и соблюдением техники безопасности: искры очень горячие, повторять это самостоятельно нельзя.
