Решение 312 в столбик

Question

Расшифровка фото нейросетью:
312. Найдите, используя алгоритм:
а) НОД (90; 120), НОК (90; 120);
б) НОД (16; 5), НОК (16; 5);
в) НОД (12; 36), НОК (12; 36);
г) НОД (12; 48), НОК (12; 48).

Answer

Краткий ответ:

а) НОД $=30$, НОК $=360$;

б) НОД $=1$, НОК $=80$;

в) НОД $=12$, НОК $=36$;

г) НОД $=12$, НОК $=48$.

Как работает алгоритм

1. Раскладываем каждое число на простые множители.

2. НОД — берём только общие простые множители, каждый в наименьшей степени.

3. НОК — берём все встречающиеся простые множители, каждый в наибольшей степени.

Пример «в столбик» для пункта а)

$$
\begin{array}{r|l}
90 & 2\
45 & 3\
15 & 3\
5 & 5\
1 &
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r|l}
120 & 2\
60 & 2\
30 & 2\
15 & 3\
5 & 5\
1 &
\end{array}
$$

Получаем:

$$
90=2\cdot3^2\cdot5,\qquad
120=2^3\cdot3\cdot5.
$$

Общие множители: $2,\ 3,\ 5$.

$$
\text{НОД}=2\cdot3\cdot5=30.
$$

Для НОК берём $2$ в наибольшей степени — $2^3$, $3$ — $3^2$, $5$ — $5^1$:

$$
\text{НОК}=2^3\cdot3^2\cdot5=360.
$$

Остальные пункты

Пункт |
Разложение |
НОД |
НОК |

б) |
$16=2^4,\quad 5=5$ |
$1$ |
$2^4\cdot5=80$ |

в) |
$12=2^2\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2$ |
$2^2\cdot3=12$ |
$2^2\cdot3^2=36$ |

г) |
$12=2^2\cdot3,\quad 48=2^4\cdot3$ |
$2^2\cdot3=12$ |
$2^4\cdot3=48$ |

В пунктах в) и г) можно заметить короткий приём: если одно число делится на другое, то НОД равен меньшему числу, а НОК — большему.

Проверка

Для двух чисел произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел:

$$
30\cdot360=10800=90\cdot120,
$$

$$
1\cdot80=80=16\cdot5.
$$

Для пунктов в) и г) это тоже выполняется: $12\cdot36=12\cdot36$, $12\cdot48=12\cdot48$.

Пункт	Разложение	НОД	НОК
б)	\(16=2^4,\quad 5=5\)	\(1\)	\(2^4\cdot5=80\)
в)	\(12=2^2\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2\)	\(2^2\cdot3=12\)	\(2^2\cdot3^2=36\)
г)	\(12=2^2\cdot3,\quad 48=2^4\cdot3\)	\(2^2\cdot3=12\)	\(2^4\cdot3=48\)