138 упражнение
Сверь числа и знаки с фото.
- Четыре раза подряд бросают монету. Найдите события, противоположные следующим событиям, и посчитайте количество благоприятных для них исходов: A = «орлов и решек выпадет поровну»; B = «орлов выпадет больше, чем решек»; C = «орлов выпадет меньше, чем решек»; D = «ни разу не выпадет два орла подряд».
Краткий ответ
Всего при четырёх бросках \(2^4=16\) равновозможных исходов. Обозначим противоположное событие чертой.
- \(\overline A\) — «орлов и решек выпадет не поровну», \(10\) исходов;
- \(\overline B\) — «орлов выпадет не больше, чем решек», \(11\) исходов;
- \(\overline C\) — «орлов выпадет не меньше, чем решек», \(11\) исходов;
- \(\overline D\) — «хотя бы раз выпадут два орла подряд», \(8\) исходов.
Как считаем
Пусть \(k\) — число орлов. Тогда \(k\) может быть \(0,1,2,3,4\).
Событие \(A\).
«Поровну» при 4 бросках — это ровно \(k=2\).
Число способов выбрать 2 места для орлов: \[ C_4^2=6. \] Значит, у \(\overline A\): \(16-6=10\) исходов.Событие \(B\).
Орлов больше, чем решек: \(k=3\) или \(k=4\).
\[ C_4^3+C_4^4=4+1=5. \] Тогда у \(\overline B\): \(16-5=11\) исходов.
Это же видно так: \(\overline B=A\cup C\), то есть \(6+5=11\).Событие \(C\).
Орлов меньше, чем решек: \(k=0\) или \(k=1\).
\[ C_4^0+C_4^1=1+4=5. \] У \(\overline C\): \(16-5=11\) исходов.Событие \(D\).
Сначала посчитаем исходы без двух орлов подряд:- 0 орлов: \(1\) исход;
- 1 орёл: \(4\) исхода;
- 2 орла не рядом: \(3\) исхода — позиции \((1,3)\), \((1,4)\), \((2,4)\);
- 3 или 4 орла обязательно дают пару подряд.
Итого: \[ 1+4+3=8. \] Значит, у \(\overline D\) тоже \(16-8=8\) исходов.
Проверка
У самих событий \(A,B,C,D\) благоприятных исходов соответственно \(6,5,5,8\). При этом \(6+5+5=16\): события \(A,B,C\) разбирают все случаи по числу орлов.
Обсуждение
2 сообщенияКак записать в тетради?
Я бы записал так — можно переписать в тетрадь:
№ 138
Дано: монету бросают 4 раза;
\(k\) — число выпавших орлов.
Всего исходов:
\[
n=2^4=16.
\]
Решение.
\(A\) — орлов и решек поровну, значит \(k=2\): \[ m(A)=C_4^2=6, \] \[ m(\overline A)=16-6=10. \]
\(B\) — орлов больше, чем решек: \(k=3\) или \(k=4\): \[ m(B)=C_4^3+C_4^4=4+1=5, \] \[ m(\overline B)=16-5=11. \]
\(C\) — орлов меньше, чем решек: \(k=0\) или \(k=1\): \[ m(C)=C_4^0+C_4^1=1+4=5, \] \[ m(\overline C)=16-5=11. \]
\(D\) — два орла подряд не выпадают ни разу.
Подходят случаи:
- 0 орлов — 1 исход;
- 1 орёл — 4 исхода;
- 2 орла не рядом — 3 исхода.
Тогда: \[ m(D)=1+4+3=8, \] \[ m(\overline D)=16-8=8. \]
Ответ:
\[
m(A)=6,\quad m(B)=5,\quad m(C)=5,\quad m(D)=8;
\]
для противоположных событий:
\[
m(\overline A)=10,\quad m(\overline B)=11,\quad m(\overline C)=11,\quad m(\overline D)=8.
\]
Если в задании нужно найти ещё и вероятности, добавь: \[ P(A)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8},\quad P(B)=\frac{5}{16},\quad P(C)=\frac{5}{16},\quad P(D)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}. \]
