как можно сократить
Сверь числа и знаки с фото.
Рукописные записи на странице в клетку. Вверху слева зачёркнутая дробь: \(\frac{2b^2}{2(1-2b)}\), рядом \(\cdot 3b\), далее [неразборчиво]. Справа: \(= \frac{b-4b^2}{-8b}\). Внизу справа: \(= \frac{(1+a)(a-1)}{a^2-a+1}\).
Коротко. Сократить дробь — значит разложить числитель и знаменатель на множители и убрать одинаковые множители. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.
Для дроби \(\frac{b-4b^2}{-8b}\) ответ: \(\frac{4b-1}{8}\) при \(b\ne0\).
Ключевые шаги.
- Числитель: \(b-4b^2=b(1-4b)\).
- Знаменатель: \(-8b=-8\cdot b\) — уже произведение.
- Общий множитель \(b\) сокращается (при \(b\ne0\)):
\[ \frac{b-4b^2}{-8b} =\frac{b(1-4b)}{-8b} =\frac{1-4b}{-8} =\frac{4b-1}{8}. \]
Минус в знаменателе: \(\frac{1-4b}{-8}=\frac{-(1-4b)}{8}=\frac{4b-1}{8}\).
Проверка. При \(b=2\): \(\frac{2-16}{-16}=\frac{7}{8}\), а \(\frac{8-1}{8}=\frac{7}{8}\) — совпало. Если в знаменателе на самом деле \(8b\) без минуса, ответ будет \(\frac{1-4b}{8}\).
Остальные записи на фото.
- Нижняя \(\frac{(1+a)(a-1)}{a^2-a+1}\): числитель \((1+a)(a-1)=a^2-1=(a-1)(a+1)\); знаменатель \(a^2-a+1\) не делится ни на \(a-1\), ни на \(a+1\) (при \(a=1\) он равен 1, при \(a=-1\) равен 3). Общих множителей нет — дробь не сокращается. Кстати, \(a^2-a+1>0\) при всех \(a\), поэтому она определена при любом \(a\).
- Зачёркнутая \(\frac{2b^2}{2(1-2b)}\) (рядом \(\cdot 3b\), читается не полностью): \(\frac{2b^2}{2(1-2b)}=\frac{b^2}{1-2b}\), \(b\ne\frac12\). Если \(3b\) умножается на всю дробь, то \(\frac{3b^3}{1-2b}\). Дальше сокращать нельзя: \(1-2b\) — сумма, а не произведение, поэтому \(b\) с ней не сокращается.
Алгоритм для похожих заданий: разложить числитель и знаменатель на множители → сократить общие множители → записать ограничения (знаменатель не нуль) → проверить подстановкой удобного числа.
Уточни: какую именно дробь нужно сократить — \(\frac{b-4b^2}{-8b}\), \(\frac{(1+a)(a-1)}{a^2-a+1}\) или зачёркнутую? В нижней я читаю знаменатель \(a^2-a+1\); если он записан иначе, пришли более чёткий фрагмент.
Обсуждение
6 сообщенийКак сократить эту дробь
Как сократить эту дробь
Коротко: эта дробь не сокращается — у числителя и знаменателя нет общего множителя.
Я читаю её так:
\[ \frac{(a-1)(a+1)}{a^2-a+1} \]
Почему сократить нельзя:
Числитель уже разложен на множители: \[ (a-1)(a+1)=a^2-1. \]
Знаменатель \(a^2-a+1\) на множители не раскладывается: его дискриминант \[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=-3<0, \] поэтому действительных корней нет. Значит, множителей \(a-1\) или \(a+1\) в нём тоже нет.
Проверка подстановкой:
- при \(a=1\) знаменатель равен \(1\);
- при \(a=-1\) знаменатель равен \(3\).
То есть ни \(a-1\), ни \(a+1\) не делят знаменатель.
Ответ: дробь остаётся в виде
\[ \frac{a^2-1}{a^2-a+1} \]
и дальше не сокращается. Знаменатель всегда положителен: \[ a^2-a+1=\left(a-\frac12\right)^2+\frac34>0, \] поэтому дробь определена при любом \(a\).
Если в знаменателе на самом деле должно быть \(a^2-2a+1\), то это \((a-1)^2\), и тогда сокращение было бы другим: \(\frac{a+1}{a-1}\). Но на фото я вижу именно \(a^2-a+1\).
Как сократить эту дробь
Коротко: эта дробь не сокращается — общих множителей у числителя и знаменателя нет.
Если перевернуть фото, дробь читается так:
\[ \frac{(1-a)(1+a)}{a^2-a+1}=\frac{1-a^2}{a^2-a+1}. \]
Я в прошлый раз неточно передал знак числителя: там \(1-a^2\), а не \(a^2-1\). На несократимость это не влияет.
Проверка:
- Числитель уже разложен: \(1-a^2=(1-a)(1+a)\).
- Знаменатель \(a^2-a+1\) на линейные множители не раскладывается: его дискриминант \[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=-3<0. \]
- Единственные возможные общие множители — \(a-1\) и \(a+1\). Но при \(a=1\) знаменатель равен \(1\), а при \(a=-1\) равен \(3\). Значит, ни \(a-1\), ни \(a+1\) не делят знаменатель.
Вывод: дробь уже в несократимом виде. Сокращать можно только множители, а не слагаемые: \(a^2-a+1\) — сумма, поэтому «сократить на \(a\)» нельзя.
Если дробь записана наоборот, \(\frac{a^2-a+1}{(1-a)(1+a)}\), вывод тот же: она не сокращается, только появляется ограничение \(a\ne\pm1\).
Если в задании была дробь \(\frac{a^3+1}{a^2-1}\), то она сокращается: \[ \frac{(a+1)(a^2-a+1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a-1},\qquad a\ne\pm1. \] Возможно, у тебя именно этот пример — проверь условие.
Коротко: эта дробь тоже не сокращается. Только теперь, если перевернуть фото, она записана так:
\[ \frac{a^2-a+1}{(a+1)(a-1)} \]
то есть в числителе трёхчлен, а в знаменателе произведение.
Почему сократить нельзя.
Знаменатель уже разложен: \[ (a+1)(a-1)=a^2-1. \]
Числитель \(a^2-a+1\) на множители не раскладывается: его дискриминант \[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=-3<0, \] действительных корней нет.
Проверяем, нет ли в числителе множителей \(a-1\) или \(a+1\):
- при \(a=1\): \(1-1+1=1\ne0\);
- при \(a=-1\): \(1+1+1=3\ne0\).
Значит, ни \(a-1\), ни \(a+1\) числитель не делят — общих множителей нет.
Ответ:
\[ \frac{a^2-a+1}{a^2-1},\qquad a\ne1,\ a\ne-1. \]
Дробь остаётся в таком виде. Если бы в числителе было \(a^2-1\), а в знаменателе \(a^2-a+1\), как я понял раньше, вывод тот же — сокращения нет; просто проверь, в каком порядке записаны числитель и знаменатель в тетради.
