помоги мне подготовиться к контрольной работе по теме квадратные уравнения там ещё будет теорема Виета
Краткий ответ
Вся контрольная по квадратным уравнениям держится на трёх инструментах: дискриминант (сколько корней), формула корней (какие именно) и теорема Виета (сумма и произведение корней без их вычисления). Плюс привычка проверять ответ подстановкой — именно на проверке чаще всего ловят ошибки со знаками.
1. Каркас темы
Общий вид: \(ax^2+bx+c=0\), где \(a \neq 0\). Если \(a=1\), уравнение называют приведённым: \(x^2+px+q=0\).
Неполные уравнения (когда \(b=0\) или \(c=0\)) решай без дискриминанта, это быстрее:
- \(ax^2+c=0 \Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}\);
- \(ax^2+bx=0 \Rightarrow x(ax+b)=0 \Rightarrow x=0\) или \(x=-\frac{b}{a}\).
2. Дискриминант и корни
\[D=b^2-4ac\]
- \(D>0\) — два разных корня;
- \(D=0\) — один корень (два совпадающих);
- \(D<0\) — действительных корней нет.
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]
Если \(b\) чётное, удобнее считать через \(k=\frac{b}{2}\):
\[x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}\]
Это те же числа, просто без крупных коэффициентов — меньше шансов ошибиться.
3. Теорема Виета
Для \(ax^2+bx+c=0\):
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}\]
Для приведённого \(x^2+px+q=0\) запоминается совсем просто:
\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q\]
Обратная теорема: если числа \(m\) и \(n\) таковы, что \(m+n=-p\) и \(mn=q\), то они — корни \(x^2+px+q=0\). Это рабочий способ «угадать» корни приведённого уравнения: ищи два числа, дающие в сумме \(-p\), а в произведении \(q\).
4. Что обычно спрашивают
| Задание | Как действовать |
|---|---|
| Найти сумму/произведение корней, не решая | Прямо по Виету |
| Составить уравнение по корням | \(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\) |
| Найти \(x_1^2+x_2^2\) | \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\) |
| Найти \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\) | \(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\) |
| Разложить на множители | \(a(x-x_1)(x-x_2)\) |
| Найти \(a\), при котором корень равен числу | Подставить корень в уравнение |
| Уравнение с параметром | Условия: \(a \neq 0\) и \(D \ge 0\) |
5. Частые потери баллов
- Забыл, что \(D\) делится на \(2a\), а не на \(a\) или на 2.
- В Виете перепутал знак: сумма — это минус \(b/a\), произведение — плюс \(c/a\).
- В неприведённом уравнении применил Виета как для приведённого (без деления на \(a\)).
- Потерял корень \(x=0\) в уравнении вида \(ax^2+bx=0\).
- Не проверил подстановкой — а именно там вылезает арифметика.
6. Проверь себя
- \(2x^2-5x+2=0\). Здесь \(D=25-16=9\), корни \(x_1=2\), \(x_2=\frac{1}{2}\). Проверка по Виету: \(2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}=\frac{5}{2}\) ✓, \(2\cdot\frac{1}{2}=1=\frac{2}{2}\) ✓.
- \(x^2-7x+10=0\). Ищем два числа: сумма 7, произведение 10 — это 2 и 5.
- Для \(x^2-5x+6=0\) найди \(x_1^2+x_2^2\). По Виету сумма 5, произведение 6, значит \(25-12=13\).
Если все три сошлись — база готова, и на контрольной останется только аккуратно считать.
Обсуждение
2 сообщенияТам надо будет решить квадратное уравнение получается потом составить его из задачи А как это делается то есть как составить квадратное уравнение из задачи
Как это устроено
Текстовая задача почти всегда даёт два факта про одну и ту же величину. Один факт (например, сумма или периметр) превращается в простое выражение, второй (произведение или площадь) — в уравнение. Дальше всё сводится к стандартному виду \(ax^2+bx+c=0\), и работают уже знакомые дискриминант и Виет.
Алгоритм из 5 шагов
- Назови неизвестное буквой и запиши, что это. Не «пусть \(x\)», а «пусть \(x\) — ширина, см».
- Вырази вторую неизвестную через первую по первому факту. Это ключевой шаг: уравнение должно получиться с одной буквой.
- Запиши уравнение по второму факту и раскрой скобки.
- Приведи к виду \(ax^2+bx+c=0\) (всё в левую часть, подобные слагаемые собрать).
- Реши и отбрось корни, которые не подходят по смыслу (длина не бывает отрицательной, скорость тоже, число людей — дробным). В конце ответь на вопрос задачи, а не просто выдай корни.
Пример целиком
Периметр прямоугольника 26 см, площадь 40 см². Найди стороны.
Шаг 1–2: пусть \(x\) — одна сторона, см. Тогда вторая по периметру: \(13-x\), потому что \(2(x+y)=26 \Rightarrow x+y=13\).
Шаг 3: площадь \(x(13-x)=40\).
Шаг 4: \[x^2-13x+40=0\]
Шаг 5: по Виету сумма 13, произведение 40 — это 8 и 5. Оба корня положительны, подходят. Стороны 5 см и 8 см.
Проверка: \(2(5+8)=26\) ✓, \(5\cdot 8=40\) ✓.
Второй тип: задача на скорость
Велосипедист проехал 60 км. Если бы он ехал на 3 км/ч быстрее, то потратил бы на 1 ч меньше. Найди скорость.
Пусть \(x\) — скорость, км/ч. Время фактическое \(\frac{60}{x}\), «быстрое» \(\frac{60}{x+3}\). Условие «на час меньше»: \[\frac{60}{x}-\frac{60}{x+3}=1\]
Умножаем на \(x(x+3)\) (при \(x>0\) это законно): \[60(x+3)-60x=x(x+3)\] \[180=x^2+3x\] \[x^2+3x-180=0\]
\(D=9+720=729=27^2\), \(x=\frac{-3+27}{2}=12\). Корень \(x=-15\) отбрасываем: скорость в задаче положительна. Ответ: 12 км/ч.
Проверка: \(60:12=5\) ч, \(60:15=4\) ч, разница 1 ч ✓.
Что делать с лишним корнем
Квадратное уравнение всегда даёт до двух корней, а физический смысл — не всегда. Типичные отсевы:
- сторона, длина, скорость, время, количество — только \(x>0\);
- «натуральное число» — только целые положительные;
- если в задаче сказано «одна сторона больше другой», корни ещё и упорядочивают.
Отбрасывать корень нужно с обоснованием в одну фразу, а не молча: на контрольной за это дают балл.
Обратная задача: уравнение по готовым корням
Если в задании сказано «составь уравнение, корни которого равны 3 и 7», это другое действие — прямое применение Виета наоборот: \[x^2-(3+7)x+3\cdot 7=0 \Rightarrow x^2-10x+21=0\]
Общий вид: \(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\). Если нужен коэффициент \(a \neq 1\), просто умножь уравнение на любое число.
Проверь себя
- Периметр прямоугольника 34 см, площадь 60 см². Найди стороны.
- Произведение двух соседних натуральных чисел равно 210. Найди их.
- Составь приведённое уравнение с корнями \(-2\) и \(5\).
Ответы: 1) 5 см и 12 см; 2) 14 и 15; 3) \(x^2-3x-10=0\).
Если в каком-то месте не сходится — скажи, на каком шаге, разберём именно его.
