596. Найдите числа, обратные следующим

Краткий ответ (задание 596)

а) \(\frac{27}{10},\ \frac{59}{12},\ \frac{98}{23},\ \frac{122}{11},\ \frac{315}{43},\ \frac{3}{10},\ \frac{8}{41}\).

б) \(\frac{12}{143},\ 20,\ \frac{1}{80},\ \frac{1}{100},\ 1,\ 2,\ \frac{5}{6}\).

Как это работает

1. Взаимно обратные числа дают в произведении 1: \[ \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1. \]
2. У дроби \(\frac{a}{b}\) обратная — \(\frac{b}{a}\): нужно поменять местами числитель и знаменатель.
3. Целое число \(n\) записываем как \(\frac{n}{1}\), тогда обратное — \(\frac{1}{n}\). Например, для 80 обратное \(\frac{1}{80}\).
4. Смешанное число сначала переводим в неправильную дробь: \[ 11\frac{11}{12}=\frac{11\cdot12+11}{12}=\frac{143}{12}, \] поэтому обратное — \(\frac{12}{143}\).
5. Десятичную дробь переводим в обыкновенную: \[ 0{,}5=\frac{1}{2}\Rightarrow 2,\qquad 1{,}2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\Rightarrow \frac{5}{6}. \]
6. Единица обратна сама себе: \(1\cdot1=1\). У нуля обратного числа нет: на 0 делить нельзя.

Проверка

\[ \frac{10}{27}\cdot\frac{27}{10}=1,\qquad 80\cdot\frac{1}{80}=1, \] \[ \frac{5}{6}\cdot1{,}2=\frac{5}{6}\cdot\frac{6}{5}=1. \]

Всё сходится.