Сформулируйте утверждения, подставив в прямоугольники слова по смыслу. Выберите верные утверждения.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Сформулируйте утверждения, подставив в прямоугольники слова по смыслу.
У любого вектора есть ___ главные характеристики: — ___ («модуль вектора»), — ___ (в какую сторону вектор на рисунке направлен). Третья характеристика вектора — это его ___.
Выберите верные утверждения.
☐ Векторы с равными модулями и противоположными направлениями называются противоположными векторами. ☐ Векторы с равными длинами называются равными векторами. ☐ \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) ☐ Векторы с противоположными направлениями называются противоположными векторами. ☐ Векторы с равными модулями и одинаковыми направлениями называются равными векторами.
Краткий ответ
Фото 1 — заполнить пропуски:
| Пропуск | Слово |
|---|---|
| «У любого вектора есть ___ главные характеристики» | две |
| «— ___ («модуль вектора»)» | длина |
| «— ___ (в какую сторону вектор направлен)» | направление |
| «Третья характеристика вектора — это его ___» | координаты |
Фото 2 — верные утверждения: 1, 3 и 5 (первое, третье, пятое).
Почему так
Как устроено определение. Вектор — это направленный отрезок, поэтому у него две главные характеристики: длина (модуль \(|\vec a|\)) и направление. Когда вектор записывают координатами, появляется третья характеристика — координаты, по ним длина и направление восстанавливаются: \(|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}\).
Проверяем каждое утверждение фото 2.
- «Равные модули + противоположные направления — противоположные векторы» — верно, это и есть определение: \(\vec b=-\vec a\).
- «Равные длины — равные векторы» — неверно: не хватает условия одинакового направления. Векторы равной длины, но разного направления, равными не считаются.
- \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\) — верно. У \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) длины равны (это один и тот же отрезок), а направления противоположны, значит \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
- «Противоположные направления — противоположные векторы» — неверно: забыто равенство модулей. Вектор длины 2 и противоположно направленный вектор длины 5 не противоположны.
- «Равные модули + одинаковые направления — равные векторы» — верно, это определение равных векторов: \(\vec a=\vec b\).
Вывод-правило для похожих заданий: «равные» требует двух совпадений (модуль и направление), «противоположные» — двух условий (равные модули и противоположные направления). Если в формулировке названо только одно условие из двух — утверждение ложное.
Обсуждение
2 сообщенияВерные утверждения
Верные утверждения: 1, 2, 3 и 4 (пятое неверно)
По рисунку \(ABCD\) — прямоугольник, \(AB=6\), \(AD=8\) (клетка — 2 единицы), \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(M\) — середина \(AB\).
Проверяем по порядку.
- \(\vec{AM}=\vec{MB}\) — верно: \(M\) середина \(AB\), поэтому векторы равны по длине (по 3) и одинаково направлены вверх.
- \(\vec{AO}=\vec{OC}\) — верно: диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, значит \(O\) — середина \(AC\).
- \(|\vec{AM}|=3\) — верно: \(AM=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\).
- \(|\vec{AC}|=10\) — верно: по теореме Пифагора \[ |\vec{AC}|=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10. \]
- \(\vec{AO}=\vec{DO}\) — неверно: длины у них равны (по 5), но направления разные: \(\vec{AO}\) идёт вверх-вправо, а \(\vec{DO}\) — вверх-влево. Для равенства векторов нужно совпадение и длины, и направления.
Итог: отмечаем первые четыре пункта, последний не отмечаем.
