реши номер 271

Краткий ответ

а) \(7,16\in N\) — неверно; \(7,16\in Z\) — неверно; \(7,16\in Q\) — верно; \(7,16\in R\) — верно.

б) \(409\in N\), \(409\in Z\), \(409\in Q\), \(409\in R\) — все четыре утверждения верны.

в) \(\pi\in N\) — неверно; \(\pi\in Z\) — неверно; \(\pi\in Q\) — неверно; \(\pi\in R\) — верно.

Почему так

\(N\) — натуральные числа, \(Z\) — целые, \(Q\) — рациональные, \(R\) — действительные. Есть вложенность:

\[ N \subset Z \subset Q \subset R. \]

• \(7,16=\frac{716}{100}=\frac{179}{25}\). Это не целое число, поэтому \(7,16\notin N\) и \(7,16\notin Z\). Но оно записывается обыкновенной дробью, значит рациональное и действительное: \(7,16\in Q\), \(7,16\in R\).
• \(409=\frac{409}{1}\) — целое положительное число. Поэтому оно принадлежит всем четырём множествам.
• \(\pi\) нельзя представить в виде \(\frac{m}{n}\) с целыми \(m\) и \(n\), поэтому оно иррационально. Значит, \(\pi\notin N\), \(\pi\notin Z\), \(\pi\notin Q\). Но \(\pi\) является действительным числом: \(\pi\in R\).

Проверка

Вложенность не нарушена: у \(409\) «да» идёт по всей цепочке \(N\to Z\to Q\to R\); у \(7,16\) — только \(Q\) и \(R\); у \(\pi\) — только \(R\). Это согласуется с тем, что \(Q\) не исчерпывает \(R\).