12. Семья взяла ипотеку в банке на сумму 1 200 000 руб. сроком на 10 лет под 12% годовых.

Задача 12. Краткий ответ

1. Первый платёж — 22 000 руб., последний — 10 100 руб.
2. Общая сумма процентов за 10 лет — 726 000 руб.
3. При досрочном взносе 150 000 руб. через 5 лет переплата уменьшится на 45 750 руб.

Как это работает

При дифференцированном платеже основной долг гасится равными долями: \[ b=\frac{1\,200\,000}{120}=10\,000 \text{ руб.} \] Каждый месяц платёж состоит из этой части и процентов на остаток долга: \[ P_k=b+0{,}01\cdot S_{k-1}. \]

1. Первый и последний платежи

Перед первым платежом остаток \(S_0=1\,200\,000\): \[ P_1=10\,000+0{,}01\cdot1\,200\,000=22\,000. \] Перед последним платежом остаток равен \(10\,000\): \[ P_{120}=10\,000+0{,}01\cdot10\,000=10\,100. \]

2. Общая сумма процентов

Остатки перед платежами образуют арифметическую прогрессию: \[ 1\,200\,000,\ 1\,190\,000,\ \ldots,\ 10\,000. \] Сумма процентов: \[ I=0{,}01\cdot\frac{1\,200\,000+10\,000}{2}\cdot120=726\,000. \]

3. Досрочное погашение

Через 5 лет сделано 60 платежей, остаток долга: \[ 1\,200\,000-60\cdot10\,000=600\,000. \] После взноса 150 000 остаётся \(450\,000\) на 60 месяцев. Новый платёж по основному долгу: \[ \frac{450\,000}{60}=7\,500. \] Проценты за первые 60 месяцев не меняются: \[ 0{,}01\cdot\frac{1\,200\,000+610\,000}{2}\cdot60=543\,000. \] За оставшиеся 60 месяцев остатки: \(450\,000,\ 442\,500,\ \ldots,\ 7\,500\). Проценты: \[ 0{,}01\cdot\frac{450\,000+7\,500}{2}\cdot60=137\,250. \] Новая сумма процентов: \[ 543\,000+137\,250=680\,250. \] Экономия: \[ 726\,000-680\,250=45\,750 \text{ руб.} \]

Проверка

Разница остатков со старым графиком: \(150\,000,\ 147\,500,\ \ldots,\ 2\,500\) — всего 60 значений. Сумма разницы: \[ \frac{150\,000+2\,500}{2}\cdot60=4\,575\,000. \] 1% от этой суммы и есть экономия: \[ 0{,}01\cdot4\,575\,000=45\,750. \] Поэтому экономия меньше \(0{,}01\cdot150\,000\cdot60=90\,000\): после досрочного погашения долг уменьшается быстрее, и разница с исходным графиком постепенно сокращается.