419. Запишите в виде степени произведение: а) m³m⁸; б) x⁴x; в) c⁷c¹²; г) p³p¹¹; д) aa³; е) b²b; ж) 5⁹·5⁸; з) 3³·3³

Ответ:

а) \(m^{3}\cdot m^{8}=m^{11}\); б) \(x^{4}\cdot x=x^{5}\); в) \(c^{7}\cdot c^{12}=c^{19}\); г) \(p^{3}\cdot p^{11}=p^{14}\); д) \(a\cdot a^{3}=a^{4}\); е) \(b^{2}\cdot b=b^{3}\); ж) \(5^{9}\cdot 5^{8}=5^{17}\); з) \(3^{3}\cdot 3^{3}=3^{6}\).

Почему так действуем

Всё задание — на одно правило: при умножении степеней с одинаковым основанием основание остаётся прежним, а показатели складываются:

\[ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} \]

Смысл правила простой: \(a^{3}\) — это три множителя \(a\), \(a^{8}\) — восемь множителей. В произведении они просто собираются вместе, и всего множителей становится \(3+8=11\).

Как решается каждый пункт

• а) \(m^{3}\cdot m^{8}=m^{3+8}=m^{11}\)
• б) \(x^{4}\cdot x\): здесь \(x\) — это \(x^{1}\), поэтому \(x^{4+1}=x^{5}\)
• в) \(c^{7}\cdot c^{12}=c^{7+12}=c^{19}\)
• г) \(p^{3}\cdot p^{11}=p^{3+11}=p^{14}\)
• д) \(a\cdot a^{3}=a^{1+3}=a^{4}\) — та же ловушка, что в пункте б): «одинокую» букву считаем первой степенью
• е) \(b^{2}\cdot b=b^{2+1}=b^{3}\)
• ж) \(5^{9}\cdot 5^{8}=5^{9+8}=5^{17}\) — основание 5, показатели складываем
• з) \(3^{3}\cdot 3^{3}=3^{3+3}=3^{6}\)

Проверка

Правило легко проверить на числах (пункт з): \(3^{3}=27\), значит \(27\cdot 27=729\), а \(3^{6}=729\). Совпало.

Так же можно проверить пункт ж грубой оценкой: \(5^{9}\cdot 5^{8}\) — это 17 множителей по 5, то есть \(5^{17}\).

Частые ошибки

• Перемножать показатели: \(m^{3}\cdot m^{8}\neq m^{24}\) — показатели именно складываются.
• Применять правило к разным основаниям: \(m^{3}\cdot x^{8}\) так упростить нельзя, основание должно совпадать.