решение
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа по теме «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Тригонометрические функции и их графики. Тригонометрические неравенства» Алгебра и начала анализа 11 класс Вариант 2
Посчитайте: а) \(\log_{0{,}2}125-\log_7\frac{1}{343}\) б) \(\frac{\log_5 3}{\log_{125}3}\)
Найдите корни уравнений: а) \(\log_2(3x+1)=3\) б) \(\log_3^2 x+5\log_9 x-1{,}5=0\)
Решите неравенства: а) \(\log_7(4x-3)\le 1\) б) \(\log_5(x^2-16)\ge\log_5(5x-20)\)
Выполните решение неравенств: а) \(\cos x>\frac{1}{2}\) б) \(\operatorname{ctg} x\ge-\sqrt{3}\)
Постройте графики заданных функций. Для каждой функции укажите \(D(y)\) и \(E(y)\). \[y=2-\log_{1/2}x\]
На рисунке изображён график функции \(f(x)=a\cos x+b\). Найдите \(a\).
[Рисунок: координатная плоскость с клетчатой сеткой; ось \(y\) со стрелкой вверх, слева от неё отметка «1»; ось \(x\) со стрелкой вправо; начало координат обозначено «O»; на оси \(x\) справа от начала координат подписана точка «π»; проведена косинусоида: её минимум отмечен точкой на оси \(y\) при \(x=0\), затем кривая поднимается, пересекает ось \(x\), достигает максимума в отмеченной точке при \(x=\pi\) и снова идёт вниз; у левого края рисунка кривая начинается в верхней части.]
Краткие ответы
- а) \(0\); б) \(3\).
- а) \(x=\frac{7}{3}\); б) \(x=\sqrt{3}\) и \(x=\frac{1}{27}\).
- а) \(x\in\left(\frac34;\ \frac52\right]\); б) \(x\in(4;+\infty)\).
- а) \(x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{\pi}{3}+2\pi k\right)\); б) \(x\in\left(\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+\pi k\right]\), \(k\in\mathbb Z\).
- \(D(y)=(0;+\infty)\), \(E(y)=\mathbb R\).
- \(a=-1\).
1. Посчитайте
а) \(\log_{0{,}2}125-\log_7\frac{1}{343}=0\)
- \(0{,}2=\frac15=5^{-1}\), а \(125=5^3\), значит \(\log_{5^{-1}}5^3=-3\).
- \(\frac{1}{343}=7^{-3}\), значит \(\log_7 7^{-3}=-3\).
- Получаем \(-3-(-3)=0\).
б) \(\dfrac{\log_5 3}{\log_{125}3}=3\)
Принцип — привести к одному основанию: \[ \log_{125}3=\frac{\log_5 3}{\log_5 125}=\frac{\log_5 3}{3}. \] Тогда \(\dfrac{\log_5 3}{\log_5 3\,/\,3}=3\).
2. Корни уравнений
а) \(\log_2(3x+1)=3\ \Rightarrow\ 3x+1=2^3=8\ \Rightarrow\ x=\frac73\). Проверка: \(3\cdot\frac73+1=8>0\) — подходит.
б) \(\log_3^2 x+5\log_9 x-1{,}5=0\).
Так как \(\log_9 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 9}=\frac12\log_3 x\), обозначаем \(t=\log_3 x\): \[ t^2+2{,}5t-1{,}5=0\ \Leftrightarrow\ 2t^2+5t-3=0, \] \[ t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}\ \Rightarrow\ t_1=\frac12,\quad t_2=-3. \] Отсюда \(x=3^{1/2}=\sqrt3\) и \(x=3^{-3}=\frac{1}{27}\). Оба значения положительны — ОДЗ выполнено.
3. Неравенства
а) \(\log_7(4x-3)\le 1\). ОДЗ: \(x>\frac34\). Основание \(7>1\), поэтому знак сохраняется: \[ 4x-3\le 7\ \Rightarrow\ x\le\frac52. \] Ответ: \(\left(\frac34;\ \frac52\right]\).
б) \(\log_5(x^2-16)\ge\log_5(5x-20)\). Основание \(5>1\), значит \[ x^2-16\ge 5x-20>0. \] Из \(5x-20>0\) следует \(x>4\) (при этом \(x^2-16>0\) автоматически). Из \(x^2-5x+4\ge0\), то есть \((x-1)(x-4)\ge0\), получаем \(x\le1\) или \(x\ge4\). Пересечение: \(x>4\).
4. Тригонометрические неравенства
а) \(\cos x>\frac12\). На промежутке \([-\pi;\pi]\) это \(x\in\left(-\frac\pi3;\frac\pi3\right)\), дальше добавляем период \(2\pi k\). Удобно смотреть по единичной окружности: берём дугу, где абсцисса точки больше \(\frac12\).
б) \(\operatorname{ctg}x\ge-\sqrt3\). На \((0;\pi)\) функция убывает, а \(\operatorname{ctg}\frac{5\pi}6=-\sqrt3\), поэтому \(0<x\le\frac{5\pi}6\). Период котангенса \(\pi\), значит \(x\in\left(\pi k;\frac{5\pi}6+\pi k\right]\).
5. График \(y=2-\log_{1/2}x\)
Так как \(\log_{1/2}x=-\log_2 x\), то \(y=2+\log_2 x\) — это обычный график \(\log_2 x\), поднятый на 2 вверх.
- \(D(y)=(0;+\infty)\) — аргумент логарифма положителен;
- \(E(y)=\mathbb R\) — логарифм принимает любые значения;
- функция возрастает, вертикальная асимптота \(x=0\);
- точки для построения: \(\left(\frac14;0\right)\), \(\left(\frac12;1\right)\), \((1;2)\), \((2;3)\), \((4;4)\).
6. \(f(x)=a\cos x+b\)
По графику: минимум при \(x=0\) равен \(-1\), максимум при \(x=\pi\) равен \(1\) (то есть \(b=0\), график — перевёрнутая косинусоида). Система: \[ \begin{cases} b+a=-1,\\ b-a=1;\end{cases}\quad 2a=-2\ \Rightarrow\ a=-1. \] Проверка: \(f(x)=-\cos x\): \(f(0)=-1\), \(f(\pi)=1\), нули при \(x=\pm\frac\pi2\) — всё совпадает с рисунком.
Общий приём для таких задач: \(a=\frac{y_{\min}-y_{\max}}{2}\), \(b=\frac{y_{\min}+y_{\max}}{2}\). Если по клеткам твоего варианта крайние значения другие, подставь их в эту формулу.
Обсуждение
5 сообщенийРешение
Решение
Решение
Ниже — решение именно варианта 1 с фотографии (предыдущий разбор относился к другим числам).
1. Вычислите
а) \(\log_5 0{,}2+\log_{0{,}5}4=-3\)
\[ \log_5\frac15=\log_5 5^{-1}=-1,\qquad \log_{1/2}4=\log_{2^{-1}}2^2=-2, \] \[ -1+(-2)=-3. \]
б) \(\dfrac{\log_7 13}{\log_{49}13}=2\)
\[ \log_{49}13=\frac{\log_7 13}{\log_7 49}=\frac{\log_7 13}{2}, \] поэтому частное равно \(2\).
2. Корни уравнений
а) \(\log_5(2x-3)=1\Rightarrow 2x-3=5\Rightarrow x=4\). Проверка: \(2\cdot4-3=5>0\) — подходит.
б) \(\log_2^2 x-9\log_8 x=4\). Так как \(\log_8 x=\frac{\log_2 x}{3}\), берём \(t=\log_2 x\): \[ t^2-3t-4=0\ \Rightarrow\ t=4 \text{ или } t=-1. \] Отсюда \(x=2^4=16\) и \(x=2^{-1}=\frac12\). Оба корня положительны — ОДЗ выполнено.
Ответ: \(x=16,\ x=\frac12\).
3. Неравенства
а) \(\log_2(x-1)>3\). Основание \(2>1\), значит \[ x-1>2^3=8\ \Rightarrow\ x>9. \] Ответ: \(x\in(9;+\infty)\).
б) \(\log_4(x^2-9)<\log_4(2x-1)\). Основание \(4>1\), поэтому \[ x^2-9<2x-1 \quad\text{при условии}\quad 2x-1>0,\ x^2-9>0. \] \[ x^2-2x-8<0\ \Leftrightarrow\ (x-4)(x+2)<0\ \Leftrightarrow\ -2<x<4. \] ОДЗ: \(x>\frac12\) из \(2x-1>0\) и \(x>3\) или \(x<-3\) из \(x^2>9\). Вместе \(x>3\). Пересечение с \(-2<x<4\): \(x\in(3;4)\).
4. Тригонометрические неравенства
а) \(\sin x>\frac12\). По единичной окружности — дуга от \(\frac{\pi}{6}\) до \(\frac{5\pi}{6}\): \[ x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]
б) \(\operatorname{tg}x>1\). На промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) тангенс возрастает и равен \(1\) при \(x=\frac{\pi}{4}\), значит \[ x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]
5. График \(y=1+\log_3 x\)
Это график \(y=\log_3 x\), сдвинутый на \(1\) вверх.
- \(D(y)=(0;+\infty)\) — аргумент логарифма положителен;
- \(E(y)=\mathbb R\) — логарифм принимает любые значения;
- функция возрастает, вертикальная асимптота \(x=0\);
- точки для построения: \(\left(\frac13;0\right)\), \((1;1)\), \((3;2)\), \((9;3)\).
6. \(f(x)=a\cos x+b\), найдите \(a\)
По рисунку: минимум в точке \(x=0\) равен \(-1\), максимум при \(x=\pi\) равен \(3\).
\[ \begin{cases} f(0)=a+b=-1,\\ f(\pi)=-a+b=3;\end{cases} \quad b=1,\ a=-2. \]
Проверка: \(f(x)=-2\cos x+1\) даёт нули при \(\cos x=\frac12\), то есть \(x=\frac{\pi}{3}\) — на рисунке график пересекает ось как раз левее \(\frac{\pi}{2}\). Всё сходится.
Ответ: \(a=-2\) (и \(b=1\)).
Общее правило для таких задач: \(a=\dfrac{f(\pi)-f(0)}{2}\), \(b=\dfrac{f(0)+f(\pi)}{2}\) — то есть \(a\) равно полуразности максимума и минимума со знаком минус.
По фото — вариант 1; задания другие, поэтому решаю по нему.
1. Посчитайте
а) \(-3\)
\[ \log_5 0{,}2=\log_5\frac15=-1,\qquad \log_{0{,}5}4=\log_{1/2}4=-2, \] сумма: \(-1+(-2)=-3\).
б) \(2\)
\[ \log_{49}13=\frac{\log_7 13}{\log_7 49}=\frac{\log_7 13}{2}, \] поэтому \[ \frac{\log_7 13}{\log_{49}13}=2. \]
2. Корни уравнений
а) \(x=4\)
\[ \log_5(2x-3)=1 \ \Rightarrow\ 2x-3=5 \ \Rightarrow\ x=4. \] Проверка: \(2\cdot4-3=5>0\).
б) \(x=16\) или \(x=\frac12\)
Так как \(\log_8 x=\frac{\log_2 x}{3}\), обозначим \(t=\log_2 x\): \[ t^2-3t-4=0 \ \Rightarrow\ t=4 \text{ или } t=-1. \] Отсюда \(x=2^4=16\) или \(x=2^{-1}=\frac12\).
3. Неравенства
а) \(x\in(9;+\infty)\)
ОДЗ: \(x>1\). Основание \(2>1\), знак сохраняется: \[ x-1>2^3=8 \ \Rightarrow\ x>9. \]
б) \(x\in(3;4)\)
ОДЗ: \[ x^2-9>0,\qquad 2x-1>0 \ \Rightarrow\ x>3. \] Само неравенство: \[ x^2-9<2x-1 \ \Rightarrow\ x^2-2x-8<0 \ \Rightarrow\ -2<x<4. \] С учётом ОДЗ: \(3<x<4\).
4. Тригонометрические неравенства
а) \(\sin x>\frac12\)
\[ x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]
б) \(\operatorname{tg}x>1\)
\[ x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]
5. График \(y=1+\log_3 x\)
\[ D(y)=(0;+\infty),\qquad E(y)=\mathbb R. \]
Это график \(y=\log_3 x\), сдвинутый на \(1\) вверх. Опорные точки: \[ \left(\frac13;0\right),\quad (1;1),\quad (3;2),\quad (9;3). \] Функция возрастает, вертикальная асимптота \(x=0\).
6. Найдите \(a\)
\[ \boxed{a=-2} \]
По рисунку минимум при \(x=0\) равен \(-2\), максимум при \(x=\pi\) равен \(2\): \[ \begin{cases} a+b=-2,\\ -a+b=2. \end{cases} \] Складывая уравнения, получаем \(2b=0\), то есть \(b=0\), тогда \(a=-2\).
Проверка: \(f(x)=-2\cos x\). При \(x=0\): \(f(0)=-2\); при \(x=\pi\): \(f(\pi)=2\). Уровня \(y=1\) график достигает при \(\cos x=-\frac12\), то есть \(x=\frac{2\pi}{3}\) — это согласуется с отмеченной точкой на рисунке.
