ДЗ по геометрии на 11.11.26. Профиль. Тип 1. 1. Найдите вписанный угол FZC, если он на 37° меньше центрального угла FOC, опирающегося на ту же дугу.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
ДЗ по геометрии на 11.11.26. Профиль. Тип 1.
- Найдите вписанный угол FZC, если он на 37° меньше центрального угла FOC, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром O; на окружности отмечены точки C, F, Z; проведены отрезки OC, OF, ZF, ZC.]
- Найдите центральный угол CFT, если он на 50° больше вписанного угла COT, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность; точки C, T, O на окружности, F — центр; проведены отрезки FC, FT, OC, OT.]
- В окружности с центром Z проведены диаметры MN и OC. Вписанный угол XNO равен 33°. Найдите центральный угол XZC. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром Z; на окружности отмечены точки M, N, O, C, X; через Z проходят диаметры MN и OC; проведены отрезки XN и XZ.]
- В окружности с центром S проведены диаметры MT и HZ. Центральный угол MSZ равен 60°. Найдите вписанный угол MTH. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром S; на окружности отмечены точки M, T, H, Z; через S проходят диаметры MT и HZ; проведены отрезки SM, SZ, MT, TH.]
- Четырёхугольник SFXO вписан в окружность. Угол SFO равен 16°, угол XSO равен 5°. Найдите угол SFX. Ответ дайте в градусах.
- Четырёхугольник HDRB вписан в окружность. Угол HDR равен 51°, угол RHB равен 15°. Найдите угол HDB. Ответ дайте в градусах.
- В треугольнике EDP сторона ED равна \(178\sqrt{2}\), угол P равен 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- Найдите угол HAT, если его сторона AH касается окружности в точке H, T — центр окружности, сторона AT пересекает окружность в точке Z, дуга HZ окружности, заключённая внутри этого угла равна 55°. Ответ дайте в градусах.
- Угол EZP равен \(23^\circ\), где P — центр окружности. Его сторона ZE касается окружности в точке E. Сторона ZP пересекает окружность в точке R. Найдите величину меньшей дуги ER окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Краткие ответы
- \(37^\circ\)
- \(100^\circ\)
- \(114^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(21^\circ\)
- \(36^\circ\)
- \(178\)
- \(35^\circ\)
- \(67^\circ\)
Ключевые шаги
Пусть вписанный угол равен \(x\). Центральный угол на ту же дугу в 2 раза больше: \(2x\). По условию \(2x-x=37^\circ\), значит \(x=37^\circ\).
Пусть вписанный угол \(y\), тогда центральный \(2y\). По условию \(2y-y=50^\circ\), поэтому \(y=50^\circ\), а центральный угол \(100^\circ\).
\(\angle XNO=33^\circ\) опирается на дугу \(XO\), значит \(\angle XZO=66^\circ\). Так как \(OC\) — диаметр, лучи \(ZO\) и \(ZC\) противоположны: \[ \angle XZC=180^\circ-66^\circ=114^\circ. \]
\(\angle MSZ=60^\circ\) — центральный, значит дуга \(MZ=60^\circ\). Диаметры дают, что дуга \(MH\), не содержащая \(T\), равна \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Тогда \[ \angle MTH=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ. \]
\(\angle SFO=16^\circ\) опирается на дугу \(SO\), поэтому она равна \(32^\circ\). \(\angle XSO=5^\circ\) опирается на дугу \(XO=10^\circ\). Тогда дуга \(SX=32^\circ+10^\circ=42^\circ\), а \[ \angle SFX=\frac{42^\circ}{2}=21^\circ. \]
\(\angle HDR=51^\circ\) даёт дугу \(HR=102^\circ\). \(\angle RHB=15^\circ\) даёт дугу \(RB=30^\circ\). Тогда дуга \(HB=102^\circ-30^\circ=72^\circ\), значит \[ \angle HDB=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ. \]
По теореме синусов: \[ R=\frac{ED}{2\sin\angle P} =\frac{178\sqrt2}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}} =178. \]
Радиус \(TH\) перпендикулярен касательной \(AH\), поэтому \(\angle AHT=90^\circ\). Дуга \(HZ=55^\circ\), значит \(\angle HTZ=55^\circ\). В треугольнике \(AHT\): \[ \angle HAT=180^\circ-90^\circ-55^\circ=35^\circ. \]
Радиус \(PE\) перпендикулярен касательной \(ZE\), поэтому \(\angle ZEP=90^\circ\). Тогда \[ \angle EPZ=90^\circ-23^\circ=67^\circ. \] Это центральный угол, значит меньшая дуга \(ER=67^\circ\).
Обсуждение
5 сообщенийСделай мне тренировочные такие задания для самостоятельной именно по этим заданиям
Сделал тренировочный комплект: 9 заданий — по одному на каждый тип из прошлого разбора. Сначала реши сам, потом сверься с ответами.
Тренировочные задания
Центральный и вписанный углы опираются на одну и ту же меньшую дугу. Их разность равна \(48^\circ\). Найдите вписанный угол.
Центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, причём центральный больше на \(76^\circ\). Найдите центральный угол.
В окружности с центром \(O\) точки \(X,N,C\) лежат на окружности, причём \(C\) диаметрально противоположна \(N\). Известно, что \(\angle XNO=33^\circ\). Найдите \(\angle XCN\).
В окружности с центром \(O\) отрезки \(AB\) и \(CD\) — диаметры. \(\angle AOC=72^\circ\). Найдите \(\angle ABC\).
Точки \(A,B,C,D\) лежат на окружности в порядке \(A-B-C-D\). Известно, что \(\angle ADB=24^\circ\), \(\angle BAC=19^\circ\). Найдите \(\angle ADC\).
Точки \(H,B,R,D\) лежат на окружности так, что на меньшей дуге \(HR\) точка \(B\) лежит между \(H\) и \(R\), а \(D\) — на другой дуге. Известно, что \(\angle HDR=54^\circ\), \(\angle RHB=12^\circ\). Найдите \(\angle HDB\).
В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB=84\sqrt3\), а \(\angle C=60^\circ\). Найдите радиус описанной окружности.
Из точки \(A\) к окружности с центром \(O\) проведена касательная \(AH\), где \(H\) — точка касания, и секущая через центр \(O\). Секущая пересекает окружность в точках \(Z\) и \(T\), причём \(Z\) лежит между \(A\) и \(O\). Дуга \(HZ\) равна \(64^\circ\). Найдите \(\angle HAT\).
Из точки \(Z\) к окружности с центром \(P\) проведены касательная \(ZE\), где \(E\) — точка касания, и секущая через центр \(P\). Секущая пересекает окружность в точке \(R\), лежащей между \(Z\) и \(P\). Угол между касательной \(ZE\) и секущей \(ZP\) равен \(28^\circ\). Найдите меньшую дугу \(ER\).
Ответы для самопроверки
- \(48^\circ\).
- \(152^\circ\).
- \(57^\circ\).
- \(36^\circ\).
- \(43^\circ\).
- \(42^\circ\).
- \(84\).
- \(26^\circ\).
- \(62^\circ\).
Если где-то ответ не сойдётся, пришли номер задания и своё решение — разберём конкретный шаг.
Сделай мне тренировочные такие задания для самостоятельной именно по этим заданиям
Это новый комплект — числа другие, structure та же (предыдущий набор можно использовать как второй вариант). Решай сам, ответы ниже.
Вариант 2
Центральный и вписанный углы опираются на одну и ту же дугу, центральный больше на \(52^\circ\). Найдите вписанный угол.
Центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, их разность равна \(74^\circ\). Найдите центральный угол.
В окружности с центром \(O\) точки \(X,N,C\) лежат на окружности, \(C\) диаметрально противоположна \(N\). \(\angle XNO=41^\circ\). Найдите \(\angle XCN\).
В окружности с центром \(O\) отрезки \(AB\) и \(CD\) — диаметры, \(\angle AOC=96^\circ\). Найдите \(\angle ABC\).
Точки \(A,B,C,D\) лежат на окружности в порядке \(A-B-C-D\). \(\angle ADB=31^\circ\), \(\angle BAC=17^\circ\). Найдите \(\angle ADC\).
Точки \(H,B,R,D\) лежат на окружности; на меньшей дуге \(HR\) точка \(B\) лежит между \(H\) и \(R\), точка \(D\) — на другой дуге. \(\angle HDR=61^\circ\), \(\angle RHB=14^\circ\). Найдите \(\angle HDB\).
В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB=126\sqrt3\), \(\angle C=60^\circ\). Найдите радиус описанной окружности.
Из точки \(A\) проведена касательная \(AH\) (\(H\) — точка касания) и секущая через центр \(O\), пересекающая окружность в точках \(Z\) и \(T\), причём \(Z\) лежит между \(A\) и \(O\). Дуга \(HZ\) равна \(68^\circ\). Найдите \(\angle HAT\).
Из точки \(Z\) проведены касательная \(ZE\) (\(E\) — точка касания) и секущая через центр \(P\), пересекающая окружность в точке \(R\), лежащей между \(Z\) и \(P\). Угол между касательной \(ZE\) и секущей \(ZP\) равен \(34^\circ\). Найдите меньшую дугу \(ER\).
Ответы
- \(52^\circ\)
- \(148^\circ\)
- \(49^\circ\)
- \(48^\circ\)
- \(48^\circ\)
- \(47^\circ\)
- \(126\)
- \(22^\circ\)
- \(56^\circ\)
Какое правило работает
- Вписанный угол \(x\), центральный \(2x\), разность \(x\) — ответ равен самой разности.
- Та же разность, но спрашивают центральный: он вдвое больше разности.
- Треугольник \(XNO\) равнобедренный: \(\angle XON=180^\circ-2\angle XNO\), а \(\angle XCN\) — половина этого центрального угла.
- \(\angle ABC\) — вписанный, опирается на дугу \(AC\), равную центральному \(\angle AOC\): ответ вдвое меньше.
- Углы \(\angle ADB\) и \(\angle BAC\) дают дуги \(AB\) и \(BC\) (удвоенные), их сумма — дуга \(AC\), а \(\angle ADC\) равен её половине.
- Аналогично п. 5, но дуга \(HB\) — разность дуг \(HR\) и \(RB\).
- Теорема синусов: \(2R=\dfrac{AB}{\sin\angle C}\).
- Радиус в точку касания даёт \(90^\circ\), угол \(\angle HTA\) равен половине дуги \(HZ\); третий угол треугольника — ответ.
- Радиус \(\perp\) касательной даёт \(90^\circ\), центральный угол равен \(90^\circ\) минус данный угол, он же равен дуге \(ER\).
Пришли номер и своё решение, если ответ не сойдётся — найду ошибку в шаге.
