8.22. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD, точки M и N — середины рёбер SC и SD соответственно. Прямые SA, BM и CN попарно перпендикулярны.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
8.22. Основание пирамиды \(SABCD\) — параллелограмм \(ABCD\), точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(SC\) и \(SD\) соответственно. Прямые \(SA\), \(BM\) и \(CN\) попарно перпендикулярны. а) Докажите, что отрезок \(CN\) делится плоскостью \(BMD\) в отношении 2 : 1, считая от точки \(C\). б) Найдите объём пирамиды, если \(SA = a\), \(BM = b\), \(CN = c\).
Короткий ответ:
а) \(CN\) пересекает плоскость \(BMD\) в точке \(P\), причём \(CP:PN=2:1\).
б) \(V_{SABCD}=\dfrac{4abc}{9}\).
а) Почему отношение \(2:1\)
Рассмотрим только треугольник \(SCD\). Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(SC\) и \(SD\), поэтому \(DM\) и \(CN\) — медианы треугольника \(SCD\).
Пусть \(P=DM\cap CN\). Медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, значит: \[ CP:PN=2:1. \] При этом \(D,M\in (BMD)\), поэтому прямая \(DM\) лежит в плоскости \(BMD\). Следовательно, \(P\in (BMD)\). Значит, именно плоскость \(BMD\) отсекает от \(CN\) часть \(CP\), и \(CP:PN=2:1\).
б) Объём пирамиды
Выберем прямоугольную систему координат с началом \(S\). Ось \(Sx\) направим вдоль \(SA\), \(Sy\) — в направлении \(BM\), \(Sz\) — в направлении \(CN\). Эти направления попарно перпендикулярны.
Тогда \(A=(a,0,0)\). Пусть \(C=(x,y,z)\).
Так как \(M\) — середина \(SC\): \[ M=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2},\frac{z}{2}\right). \] Вектор \(BM\) имеет длину \(b\) и направлен вдоль оси \(Sy\), поэтому \[ B=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}-b,\frac{z}{2}\right). \] Аналогично \(N-C=(0,0,c)\), и поскольку \(N\) — середина \(SD\): \[ N=(x,y,z+c),\qquad D=(2x,2y,2z+2c). \]
В параллелограмме \(ABCD\) диагонали имеют общую середину, поэтому \[ A+C=B+D. \] Подставляем координаты: \[ (a+x,y,z)=\left(\frac{5x}{2},\frac{5y}{2}-b,\frac{5z}{2}+2c\right). \] Отсюда \[ x=\frac{2a}{3},\qquad y=\frac{2b}{3},\qquad z=-\frac{4c}{3}. \] Значит, \[ B=\left(\frac a3,-\frac{2b}{3},-\frac{2c}{3}\right),\qquad D=\left(\frac{4a}{3},\frac{4b}{3},-\frac{2c}{3}\right). \]
Объём пирамиды с основанием-параллелограммом: \[ V=\frac13\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS})\right|. \] Имеем: \[ \overrightarrow{AB}=\left(-\frac{2a}{3},-\frac{2b}{3},-\frac{2c}{3}\right),\quad \overrightarrow{AD}=\left(\frac a3,\frac{4b}{3},-\frac{2c}{3}\right),\quad \overrightarrow{AS}=(-a,0,0). \] Смешанное произведение равно \[ -\frac{4abc}{3}. \] Берём модуль: \[ V=\frac13\cdot\frac{4abc}{3}=\frac{4abc}{9}. \]
