как искать расстояние между точками, когда даны координаты точек ( (х;у) ). какая формула

Кратко: если даны две точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\), расстояние между ними ищут по формуле:

\[ AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]

То есть нужно из координат одной точки вычесть координаты другой, каждую разность возвести в квадрат, сложить и извлечь корень.

Почему формула такая

Разность \(x_2-x_1\) — это горизонтальное смещение между точками, а \(y_2-y_1\) — вертикальное. Они образуют катеты прямоугольного треугольника, а искомое расстояние — его гипотенузу. Поэтому работает теорема Пифагора.

Порядок действий

1. Найди разность абсцисс: \(x_2-x_1\).
2. Найди разность ординат: \(y_2-y_1\).
3. Возведи обе разности в квадрат.
4. Сложи результаты.
5. Извлеки квадратный корень.

Порядок точек не важен: \((x_2-x_1)^2=(x_1-x_2)^2\).

Пример

\(A(2;-1)\), \(B(5;3)\).

\[ AB=\sqrt{(5-2)^2+(3-(-1))^2} \]

\[ AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

Ответ: \(5\).

Если одна из точек — начало координат \(O(0;0)\), то формула упрощается:

\[ OA=\sqrt{x^2+y^2} \]