ДОРЕШАТЬ - 2. Через точку E, делящую боковую сторону треугольника в соотношении 2:3, провели прямую, параллельную ее основанию и пересекающую вторую боковую сторону

Краткий ответ: \(EF = 15\); \(B_1C_1 = 6\).

Задача 2 (отрезок \(EF\))

Идея. Прямая \(EF\), параллельная основанию \(AC\), отсекает от треугольника \(ABC\) подобный треугольник \(BEF\): угол \(B\) общий, а углы при \(E\) и \(A\) равны как соответственные при параллельных прямых. Значит,

\[ \frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}. \]

Коэффициент. Отношение \(2:3\) читаем как \(AE:EB=2:3\): на \(AE\) приходится 2 части, на \(EB\) — 3, всего \(AB=5\) частей. Тогда от вершины \(B\) до точки \(E\):

\[ BE=\frac{3}{5}AB. \]

Счёт.

\[ EF=\frac{3}{5}\cdot 25=15. \]

Проверка: \(EF:AC = 15:25 = 3:5 = BE:BA\) — сходится.

Нюанс оформления. Всё держится на том, какая часть боковой стороны прилегает к вершине. Если у вас принято отсчитывать отношение от вершины (\(BE:EA=2:3\)), то \(BE=\frac{2}{5}AB\) и \(EF=10\). Принцип один и тот же: \[ EF=AC\cdot\frac{BE}{BA}. \] Стоит глянуть, как записывают такие отношения в тетради на уроках.

Задача 3 (отрезок \(B_1C_1\))

Идея. Три параллельные прямые \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1\) отсекают на двух прямых пропорциональные отрезки (обобщённая теорема Фалеса):

\[ \frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}. \]

То, что \(B\) лежит между \(A\) и \(C\), гарантирует: \(AB\) и \(BC\) — соседние отрезки, и на второй прямой им отвечают тоже соседние \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\).

Счёт.

\[ \frac{5}{3}=\frac{10}{B_1C_1}\quad\Rightarrow\quad B_1C_1=\frac{3\cdot 10}{5}=6. \]

Проверка: \(AB\cdot B_1C_1 = 5\cdot 6 = 30\) и \(BC\cdot A_1B_1 = 3\cdot 10 = 30\) — сходится. Или через коэффициент: \(k=10:5=2\), тогда \(B_1C_1 = 3\cdot 2 = 6\).