решение

Ниже — краткие ответы, затем ключевые шаги.

Кратко

1. а) \(0\); б) \(3\).
2. а) \(\frac73\); б) \(\sqrt3\), \(\frac1{27}\).
3. а) \(\left(\frac34;\frac52\right]\); б) \((4;+\infty)\).
4. а) \(-\frac\pi3+2\pi k<x<\frac\pi3+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\);
   б) \(\pi k<x\le\frac{5\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).
5. \(D(y)=(0;+\infty)\), \(E(y)=\mathbb R\); график — \(y=\log_2 x\), сдвинутый вверх на 2.
6. \(a=-2\).

Решение

1.
а) \(0{,}2=5^{-1}\), \(125=5^3\), \(343=7^3\): \[ \log_{0{,}2}125=\log_{5^{-1}}5^3=-3,\qquad \log_7\frac1{343}=\log_7 7^{-3}=-3. \] Разность равна \(0\).

б) \(125=5^3\), поэтому \[ \log_{125}3=\frac{\log_5 3}{\log_5 125}=\frac{\log_5 3}{3}. \] Отношение равно \(3\).

2.
а) \[ \log_2(3x+1)=3 \Rightarrow 3x+1=2^3=8 \Rightarrow x=\frac73. \] Корень входит в ОДЗ \(x>-\frac13\).

б) Пусть \(t=\log_3 x\). Тогда \(\log_9 x=\frac12\log_3 x\): \[ t^2+\frac52t-\frac32=0 \Rightarrow 2t^2+5t-3=0. \] Корни: \(t=\frac12\) и \(t=-3\). Значит, \[ x=3^{1/2}=\sqrt3,\qquad x=3^{-3}=\frac1{27}. \]

3.
а) ОДЗ: \(4x-3>0\), то есть \(x>\frac34\). Основание \(7>1\), поэтому знак сохраняется: \[ 4x-3\le 7 \Rightarrow x\le\frac52. \] Ответ: \(\left(\frac34;\frac52\right]\).

б) ОДЗ: \[ x^2-16>0,\quad 5x-20>0 \Rightarrow x>4. \] Так как \(5>1\), \[ x^2-16\ge5x-20 \Rightarrow x^2-5x+4\ge0 \Rightarrow (x-1)(x-4)\ge0. \] С учётом \(x>4\) получаем \(x>4\).

4.
а) На единичной окружности \(\cos x=\frac12\) при \(x=\pm\frac\pi3\). Между этими точками \(\cos x>\frac12\): \[ -\frac\pi3+2\pi k<x<\frac\pi3+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

б) Период котангенса равен \(\pi\). Граница: \[ \mathrm{ctg}\,x=-\sqrt3 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{6}+\pi k. \] На каждом периоде котангенс убывает, поэтому \[ \pi k<x\le\frac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

5. \[ y=2-\log_{1/2}x=2+\log_2 x. \] Поэтому: \[ D(y)=(0;+\infty),\qquad E(y)=\mathbb R. \] График получается из \(y=\log_2 x\) сдвигом вверх на 2. Вертикальная асимптота \(x=0\), функция возрастает. Опорные точки: \[ \left(\frac14;0\right),\quad \left(\frac12;1\right),\quad (1;2),\quad (2;3). \]

6. По графику: \[ f(0)=-3,\qquad f(\pi)=1. \] Так как \(f(x)=a\cos x+b\), то \[ f(0)=a+b=-3, \] \[ f(\pi)=-a+b=1. \] Вычитаем: \[ -2a=4 \Rightarrow a=-2. \] Проверка: \(b=-1\), то есть \(f(x)=-2\cos x-1\); максимум при \(x=\pi\) равен \(1\), минимум при \(x=0\) равен \(-3\).

Что важно запомнить: в логарифмических неравенствах сначала находят ОДЗ, затем сравнивают аргументы; при основании \(>1\) знак сохраняется, при основании от \(0\) до \(1\) — меняется. В тригонометрических неравенствах границы удобно отмечать на окружности и прибавлять период.