Отметьте точки F и А, находящиеся на расстоянии 9 см друг от друга. Проведите две окружности:радиусом 4 см с центром F и радиусом 7 см с центром А. Пересекаются эти окружности?

Да, окружности пересекаются, причём в двух точках.

Пусть \(O\) — точка пересечения окружностей. Тогда:

• \(FO=4\) см — радиус окружности с центром \(F\);
• \(AO=7\) см — радиус окружности с центром \(A\);
• \(FA=9\) см — расстояние между центрами.

Получается треугольник \(FAO\) со сторонами \(4\), \(7\) и \(9\) см. Проверим неравенство треугольника:

\[ 4+7=11>9, \] \[ 4+9=13>7, \] \[ 7+9=16>4. \]

Все три неравенства выполняются, значит, такой треугольник существует. Причём точку \(O\) можно отложить по обе стороны от отрезка \(FA\), поэтому получаются две точки пересечения.

Кратко по правилу: расстояние между центрами \(9\) см, сумма радиусов \(4+7=11\) см, разность радиусов \(7-4=3\) см. Так как

\[ 3<9<11, \]

окружности пересекаются в двух точках.