реши 10 и 11 номер

Question

реши 10 и 11 номер

Расшифровка фото нейросетью:
10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение:
а) $\frac{x}{x-2}$; б) $\frac{b+4}{b^2+7}$; в) $\frac{y^2-1}{y}+\frac{y}{y-3}$; г) $\frac{a+10}{a(a-1)}-1$.

11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) $x^2-8x+9$; в) $\frac{3x-6}{7}$; д) $\frac{x-5}{x^2+25}-3x$;
б) $\frac{1}{6x-3}$; г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$; е) $\frac{x}{x+8}+\frac{x-8}{x}$.

Answer

Краткий ответ

10.

а) $x\ne2$;

б) $b\in\mathbb R$;

в) $y\ne0,\ y\ne3$;

г) $a\ne0,\ a\ne1$.

11.

а) $x\in\mathbb R$;

б) $x\ne\frac12$;

в) $x\in\mathbb R$;

г) $x\ne0,\ x\ne-1$;

д) $x\in\mathbb R$;

е) $x\ne-8,\ x\ne0$.

Как это понять

Рациональное выражение имеет смысл, когда ни один знаменатель не равен нулю. Числитель может быть любым — он не накладывает ограничений.

10.

а) $\frac{x}{x-2}$: $x-2\ne0$, поэтому $x\ne2$.

б) $\frac{b+4}{b^2+7}$: $b^2+7>0$ при любом $b$, знаменатель не обращается в нуль. Ограничений нет.

в) $\frac{y^2-1}{y}+\frac{y}{y-3}$: два знаменателя, поэтому $y\ne0$ и $y\ne3$.

г) $\frac{a+10}{a(a-1)}-1$: $a(a-1)\ne0$, значит $a\ne0$ и $a\ne1$.

11.

а) $x^2-8x+9$ — многочлен, деления на переменную нет: $x\in\mathbb R$.

б) $\frac{1}{6x-3}$: $6x-3\ne0 \Rightarrow x\ne\frac12$.

в) $\frac{3x-6}{7}$: знаменатель равен $7$, он не нулевой: $x\in\mathbb R$.

г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$: $4x(x+1)\ne0$, поэтому $x\ne0,\ x\ne-1$.

д) $\frac{x-5}{x^2+25}-3x$: $x^2+25>0$ при любом $x$. Ограничений нет.

е) $\frac{x}{x+8}+\frac{x-8}{x}$: $x+8\ne0$ и $x\ne0$, то есть $x\ne-8,\ x\ne0$.

Проверка: например, в 11 б при $x=\frac12$ знаменатель $6x-3=0$, значит это значение недопустимо; при $x=1$ знаменатель равен $3$, всё считается.