223 задание абв
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите биквадратное уравнение: а) \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\); б) \(y^4 - 6y^2 + 8 = 0\); в) \(t^4 + 10t^2 + 25 = 0\).
Краткий ответ: а) \(x=\pm 3\); б) \(y=\pm 2,\ \pm\sqrt{2}\); в) действительных корней нет.
Как решать биквадратное уравнение
- Сделать замену \(u=x^2\) (или \(u=y^2\), \(u=t^2\)). При этом обязательно \(u\ge 0\).
- Решить полученное квадратное уравнение относительно \(u\).
- Вернуться к исходной переменной:
- если \(u>0\), то \(x=\pm\sqrt{u}\);
- если \(u=0\), то \(x=0\);
- если \(u<0\), корней нет.
а) \(x^4-5x^2-36=0\)
Пусть \(u=x^2\), \(u\ge 0\). Тогда: \[ u^2-5u-36=0 \] \[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-36)=25+144=169 \] \[ u=\frac{5\pm13}{2} \] Значит, \(u=9\) или \(u=-4\). Второй корень не подходит, так как \(u=x^2\ge0\).
\[ x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3 \]
Проверка: \(3^4-5\cdot3^2-36=81-45-36=0\).
б) \(y^4-6y^2+8=0\)
Пусть \(u=y^2\), \(u\ge0\): \[ u^2-6u+8=0 \] \[ D=36-32=4 \] \[ u=\frac{6\pm2}{2} \] То есть \(u=4\) или \(u=2\). Оба значения неотрицательны.
\[ y^2=4 \Rightarrow y=\pm2 \] \[ y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{2} \]
Проверка: \(2^4-6\cdot2^2+8=16-24+8=0\); для \(\sqrt2\): \(4-12+8=0\).
в) \(t^4+10t^2+25=0\)
Пусть \(u=t^2\), \(u\ge0\): \[ u^2+10u+25=0 \] \[ (u+5)^2=0 \] \[ u=-5 \] Но \(u=t^2\) не может быть отрицательным. Значит, действительных корней нет.
Можно заметить иначе: \[ t^4+10t^2+25=(t^2+5)^2>0 \] при любом действительном \(t\), поэтому равенство нулю невозможно.
Обсуждение
2 сообщения227
Краткий ответ (227): а) действительных корней нет; б) \(x=\pm 2\) и \(x=\pm \dfrac{\sqrt3}{3}\).
а) \((x^2-1)(x^2+1)-4(x^2-11)=0\)
Сначала применяю формулу разности квадратов: \((x^2-1)(x^2+1)=x^4-1\).
\[ x^4-1-4x^2+44=0 \] \[ x^4-4x^2+43=0 \]
Замена \(t=x^2\), где \(t\ge 0\): \[ t^2-4t+43=0 \] \[ D=(-4)^2-4\cdot 43=16-172=-156<0 \]
Корней \(t\) нет, значит, и решений нет. Проверка через выделение квадрата:
\[ x^4-4x^2+43=(x^2-2)^2+39>0 \]
Сумма квадрата и положительного числа нулём быть не может.
Если в вашем издании во второй скобке стоит \(4(x^2-1)\) (частая опечатка), то уравнение будет \(x^4-4x^2+3=0\), откуда \(t=1\) или \(t=3\), то есть \(x=\pm1,\ \pm\sqrt3\). Сверьте знак по учебнику.
б) \(3x^2(x-1)(x+1)-10x^2+4=0\)
Сворачиваю произведение: \((x-1)(x+1)=x^2-1\). \[ 3x^2(x^2-1)-10x^2+4=0 \] \[ 3x^4-3x^2-10x^2+4=0 \] \[ 3x^4-13x^2+4=0 \]
Замена \(t=x^2\), \(t\ge 0\): \[ 3t^2-13t+4=0 \] \[ D=169-48=121,\quad \sqrt{D}=11 \] \[ t=\frac{13\pm 11}{6} \] \[ t_1=4,\qquad t_2=\frac{1}{3} \]
Возвращаюсь к \(x\): \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2 \] \[ x^2=\frac{1}{3} \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3} \]
Проверка для \(x=2\): \(3\cdot4\cdot1\cdot3-40+4=36-40+4=0\). Для \(x=\frac{1}{\sqrt3}\): \(3\cdot\frac13\cdot\left(\frac13-1\right)-\frac{10}{3}+4=-\frac23+\frac23=0\).
Принцип: раскрыть скобки → свести к биквадратному виду → замена \(t=x^2\ge 0\) → квадратное уравнение → обратная замена с учётом знака \(t\).
