Решение

По варианту 1 получаются такие решения.

1. Вычисления

а)
\[ \log_5 0{,}2+\log_{0{,}5}4 =\log_5\frac15+\log_{1/2}4 =-1+(-2)=-3. \]

б)
\[ \log_{49}13=\log_{7^2}13=\frac12\log_7 13, \] поэтому \[ \frac{\log_7 13}{\log_{49}13} =\frac{\log_7 13}{\frac12\log_7 13}=2. \]

Ответ: а) \(-3\); б) \(2\).

---

2. Уравнения

а)
\[ \log_5(2x-3)=1. \] ОДЗ: \(2x-3>0\).
\[ 2x-3=5,\qquad 2x=8,\qquad x=4. \] Корень входит в ОДЗ.

Ответ: \(4\).

б)
\[ \log_2^2 x-9\log_8 x=4, \] то есть \[ (\log_2 x)^2-9\log_8 x=4. \] Так как \[ \log_8 x=\frac13\log_2 x, \] обозначим \(t=\log_2 x\). Тогда: \[ t^2-9\cdot\frac t3=4, \] \[ t^2-3t-4=0, \] \[ (t-4)(t+1)=0. \] Значит: \[ t=4 \quad\text{или}\quad t=-1. \] Возвращаемся к \(x\): \[ \log_2 x=4 \Rightarrow x=16, \] \[ \log_2 x=-1 \Rightarrow x=\frac12. \]

Ответ: \(\frac12;\ 16\).

---

3. Неравенства

а)
\[ \log_2(x-1)>3. \] ОДЗ: \(x>1\). Основание \(2>1\), поэтому знак сохраняется: \[ x-1>2^3, \] \[ x-1>8, \] \[ x>9. \]

Ответ: \(x\in(9;+\infty)\).

б)
\[ \log_4(x^2-9)<\log_4(2x-1). \] ОДЗ: \[ x^2-9>0 \quad\text{и}\quad 2x-1>0. \] То есть: \[ x<-3 \ \text{или}\ x>3, \] \[ x>\frac12. \] Общая ОДЗ: \(x>3\).

Так как основание \(4>1\), переходим к неравенству: \[ x^2-9<2x-1, \] \[ x^2-2x-8<0, \] \[ (x-4)(x+2)<0, \] \[ -2<x<4. \] С учётом ОДЗ \(x>3\) получаем: \[ 3<x<4. \]

Ответ: \(x\in(3;4)\).

---

4. Тригонометрические неравенства

а)
\[ \sin x>\frac12. \] На одном периоде решение: \[ \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}. \] С учётом периодичности: \[ x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]

б)
\[ \operatorname{tg}x>1. \] Функция \(\operatorname{tg}x\) возрастает на каждом промежутке \[ \left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right), \] поэтому: \[ x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]

---

5. Функция \(y=1+\log_3 x\)

Область определения: \[ D(y)=(0;+\infty). \]

Область значений: \[ E(y)=(-\infty;+\infty). \]

График получается сдвигом графика \(y=\log_3 x\) на \(1\) единицу вверх.

Характерные точки: \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \frac19 & \frac13 & 1 & 3 & 9\\ \hline y & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \]

Вертикальная асимптота — ось \(Oy\), то есть \(x=0\).
Функция возрастает на всей области определения.

---

6. Найти \(a\) для \(f(x)=a\cos x+b\)

По графику:

• в точке \(x=0\) минимум \(f(0)=-1\);
• отмеченная точка имеет координаты \(\left(\frac{\pi}{2};1\right)\).

Так как \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=a\cos\frac{\pi}{2}+b=b, \] то \[ b=1. \]

Далее: \[ f(0)=a\cos0+b=a+b=-1. \] Подставляем \(b=1\): \[ a+1=-1, \] \[ a=-2. \]

Ответ: \(a=-2\).

Ниже — полное решение варианта 1.

1. Вычисления

а)
\[ \log_5 0{,}2+\log_{0{,}5}4 =\log_5\frac15+\log_{\frac12}4 =-1+(-2)=-3. \]

б)
\[ \log_{49}13=\log_{7^2}13=\frac12\log_7 13, \] поэтому \[ \frac{\log_7 13}{\log_{49}13} =\frac{\log_7 13}{\frac12\log_7 13}=2. \]

Ответ: а) \(-3\); б) \(2\).

---

2. Уравнения

а)
\[ \log_5(2x-3)=1. \] Область определения: \(2x-3>0\).
\[ 2x-3=5, \] \[ 2x=8,\qquad x=4. \] Корень входит в область определения.

Ответ: \(4\).

---

б)
\[ (\log_2 x)^2-9\log_8 x=4. \] Так как \[ \log_8 x=\frac13\log_2 x, \] обозначим \(t=\log_2 x\). Тогда: \[ t^2-9\cdot\frac t3=4, \] \[ t^2-3t-4=0, \] \[ (t-4)(t+1)=0. \] Значит: \[ t=4 \quad \text{или} \quad t=-1. \] Возвращаемся к \(x\): \[ \log_2 x=4 \Rightarrow x=16, \] \[ \log_2 x=-1 \Rightarrow x=\frac12. \]

Ответ: \(\frac12;\ 16\).

---

3. Неравенства

а)
\[ \log_2(x-1)>3. \] Область определения: \(x>1\).
Так как основание \(2>1\), знак неравенства сохраняется: \[ x-1>2^3, \] \[ x-1>8, \] \[ x>9. \]

Ответ: \(x\in(9;+\infty)\).

---

б)
\[ \log_4(x^2-9)<\log_4(2x-1). \] Область определения: \[ x^2-9>0,\qquad 2x-1>0. \] То есть: \[ x<-3 \ \text{или}\ x>3, \] \[ x>\frac12. \] Общая область определения: \[ x>3. \]

Основание \(4>1\), поэтому: \[ x^2-9<2x-1, \] \[ x^2-2x-8<0, \] \[ (x-4)(x+2)<0, \] \[ -2<x<4. \] С учётом \(x>3\): \[ 3<x<4. \]

Ответ: \(x\in(3;4)\).

---

4. Тригонометрические неравенства

а)
\[ \sin x>\frac12. \] На одном периоде: \[ \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}. \] С учётом периодичности: \[ x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right), \quad k\in\mathbb Z. \]

Ответ:
\[ x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right), \quad k\in\mathbb Z. \]

---

б)
\[ \operatorname{tg}x>1. \] Функция \(\operatorname{tg}x\) возрастает на каждом промежутке вида \[ \left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right). \] Поэтому: \[ x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right), \quad k\in\mathbb Z. \]

Ответ:
\[ x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right), \quad k\in\mathbb Z. \]

---

5. Функция \(y=1+\log_3 x\)

Область определения: \[ D(y)=(0;+\infty). \]

Область значений: \[ E(y)=(-\infty;+\infty). \]

График получается сдвигом графика \(y=\log_3 x\) на \(1\) единицу вверх.
Вертикальная асимптота: \[ x=0. \]

Характерные точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & \frac19 & \frac13 & 1 & 3 & 9\\ \hline y & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \]

Функция возрастает на всей области определения.

Ответ:
\[ D(y)=(0;+\infty),\qquad E(y)=(-\infty;+\infty). \]

---

6. Найти \(a\) для \(f(x)=a\cos x+b\)

По графику видно, что при \(x=0\) функция принимает минимальное значение, значит коэффициент перед косинусом отрицательный.

Амплитуда графика равна \(2\), то есть: \[ |a|=2. \] Так как при \(x=0\) находится минимум, а \(\cos 0=1\), то: \[ a<0. \] Следовательно: \[ a=-2. \]

Ответ: \(a=-2\).