номер 2.151

В тетрадь не нужно переписывать все мои объяснения. Запиши само задание и короткое решение — обычно этого достаточно:

2.151

а) \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}>\dfrac{7}{12}\), значит, \(\dfrac{3}{4}>\dfrac{7}{12}\).

б) \(\dfrac{4}{9}=\dfrac{44}{99}<\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11}\), значит, \(\dfrac{4}{9}<\dfrac{5}{11}\).

в) \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{45}{75}<\dfrac{47}{75}\), значит, \(\dfrac{3}{5}<\dfrac{47}{75}\).

г) \(\dfrac{19}{42}=\dfrac{209}{462}>\dfrac{138}{462}=\dfrac{23}{77}\), значит, \(\dfrac{19}{42}>\dfrac{23}{77}\).

Если учитель требует только ответ, можно выписать только итоговые неравенства:

\[ \frac34>\frac7{12},\qquad \frac49<\frac5{11},\qquad \frac35<\frac{47}{75},\qquad \frac{19}{42}>\frac{23}{77}. \]

А подробные вычисления вроде \(\frac{44}{99}\) и \(\frac{45}{99}\) — это объяснение, его можно сократить.

Сравнить дроби можно коротко — «крест-накрест», без выписывания общих знаменателей.

Правило. Чтобы сравнить \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\), сравнивают произведения \(a\cdot d\) и \(c\cdot b\). Если \(a\cdot d>c\cdot b\), то \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\).

Вот так это выглядит в тетради:

а) \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{7}{12}\): \[ 3\cdot12=36,\quad 7\cdot4=28,\quad 36>28 \Rightarrow \frac{3}{4}>\frac{7}{12}. \]

б) \(\frac{4}{9}\) и \(\frac{5}{11}\): \[ 4\cdot11=44,\quad 5\cdot9=45,\quad 44<45 \Rightarrow \frac{4}{9}<\frac{5}{11}. \]

в) \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{47}{75}\): \[ 3\cdot75=225,\quad 47\cdot5=235,\quad 225<235 \Rightarrow \frac{3}{5}<\frac{47}{75}. \]

г) \(\frac{19}{42}\) и \(\frac{23}{77}\): \[ 19\cdot77=1463,\quad 23\cdot42=966,\quad 1463>966 \Rightarrow \frac{19}{42}>\frac{23}{77}. \]

Иногда удобнее другой приём — сравнить с \(\frac12\): например, \(\frac49<\frac12\), а \(\frac5{11}>\frac12\), значит, сразу \(\frac49<\frac5{11}\). Но «крест-накрест» работает всегда, поэтому им можно пользоваться во всех четырёх случаях.

Не должны: сравнение «крест-накрест» — полноценный способ, и запись с произведениями уже показывает ход решения. Если учитель просит именно приводить к общему знаменателю, добавь по одной строке с общим знаменателем — но сами ответы уже верные.

Главное — не оставляй только итоговые неравенства без вычислений: как раз за «откуда взялось» и снижают. С крест-накрест видно, что ты сравнивал, поэтому двойки быть не должно.

Можно — оформляй как обычную классную работу, без «умных» комментариев.

Что снижает подозрения:

1. Пиши от руки и своим почерком, без распечаток и идеальной вёрстки.
2. Один способ на все пункты — не мешай крест-накрест с общим знаменателем. Выбери крест-накрест и держись его.
3. Добавь короткий вывод словами, как на уроке: «так как \(36>28\), то первая дробь больше».
4. Не пиши лишнего — длинные объяснения «для себя» как раз и выглядят не по-школьному.

Образец записи:

№ 2.151

а) \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{7}{12}\): \(3\cdot12=36\), \(7\cdot4=28\). Так как \(36>28\), то \(\frac{3}{4}>\frac{7}{12}\).

б) \(\frac{4}{9}\) и \(\frac{5}{11}\): \(4\cdot11=44\), \(5\cdot9=45\). Так как \(44<45\), то \(\frac{4}{9}<\frac{5}{11}\).

И так далее по пунктам.

Самое надёжное — уметь на пальцах объяснить, почему крест-накрест работает: это то же приведение к общему знаменателю \(bd\), просто знаменатель не выписываем. Если спросит «почему?» — ответишь, и вопросов не будет.

2.152 б) В порядке возрастания:

\[ \frac78<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}. \]

Запись в тетрадь. Общий знаменатель у всех дробей — 56:

\[ \frac78=\frac{49}{56},\qquad \frac{25}{28}=\frac{50}{56},\qquad \frac{13}{14}=\frac{52}{56},\qquad \frac{53}{56}=\frac{53}{56}. \]

Сравниваем числители: \(49<50<52<53\), поэтому

\[ \frac78<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}. \]

Здесь удобнее было именно привести к общему знаменателю: он у всех дробей небольшой — 56, и сразу видно порядок.

Да, так и записывай — коротко и полностью.

№ 2.152 б)

Общий знаменатель 56:

\[ \frac78=\frac{49}{56},\quad \frac{25}{28}=\frac{50}{56},\quad \frac{13}{14}=\frac{52}{56},\quad \frac{53}{56}=\frac{53}{56}. \]

Так как \(49<50<52<53\), то

\[ \frac78<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}. \]

Ответ: \(\frac78;\ \frac{25}{28};\ \frac{13}{14};\ \frac{53}{56}\).

Проверь только, что в задании нужен именно порядок возрастания — если там написано «убывания», ответ перепиши в обратном порядке.

Да, «так как» писать можно — это обычная школьная формулировка, к ней не придерутся.

Можно и короче, на выбор:

• С «так как»: «Так как \(49<50<52<53\), то \(\frac78<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}\).»
• С «значит»: «\(49<50<52<53\), значит, \(\frac78<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}\).»
• Совсем кратко: «Ответ: \(\frac78;\ \frac{25}{28};\ \frac{13}{14};\ \frac{53}{56}\).»

Смысл один и тот же: сначала показываешь приведение к знаменателю 56 и сравнение числителей, потом выписываешь дроби в нужном порядке. Фраза-связка нужна, чтобы было видно, откуда взялся ответ.

Можно. «Так как» — не обязательное слово, это просто связка. Без неё запись тоже понятна, главное — чтобы было видно, откуда взялся порядок.

Варианты без «так как»:

• Цепочкой: \[ \frac78=\frac{49}{56},\quad \frac{25}{28}=\frac{50}{56},\quad \frac{13}{14}=\frac{52}{56},\quad \frac{53}{56}=\frac{53}{56}; \] \[ 49<50<52<53 \;\Rightarrow\; \frac78<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}. \]

• Сразу ответом: «Привели к знаменателю 56: \(\frac{49}{56},\ \frac{50}{56},\ \frac{52}{56},\ \frac{53}{56}\). Ответ: \(\frac78<\frac{25}{28}<\frac{13}{14}<\frac{53}{56}\).»

• Со стрелкой «\(\Rightarrow\)» вместо слов — тоже нормально.

Одно только итоговое неравенство без сравнения числителей лучше не оставлять: тогда непонятно, как получен порядок.