№1 Окружности Γ1 и Γ2 касаются внутренним образом в точке P, причем все другие точки окружности Γ1 лежат внутри Γ2.

Краткий ответ.
а) \(PK\) — биссектриса \(\angle MPN\).
б) \(\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), то есть \(r_1:r_2=1:\sqrt2\).

Использую, что \(p\) — общая касательная к окружностям в точке \(P\) (это показано на чертеже). Обозначим \(r_1=r\), \(r_2=R\), причём \(R>r\).

Выберем координаты: \[ P=(0,0),\qquad O_1=(r,0),\qquad O_2=(R,0), \] тогда \(p\) — прямая \(x=0\), а \(q\perp p\), значит, \(q\) горизонтальна. Для верхнего расположения \(q\): \[ S=(0,r),\qquad K=(r,r). \] Пусть \[ d=\sqrt{R^2-r^2}. \] Тогда \[ M=(R+d,r),\qquad N=(R-d,r), \] причём \(N\) лежит между \(S\) и \(K\), как и сказано в условии.

а) Почему \(PK\) — биссектриса \(\angle MPN\)

Пусть \[ \alpha=\angle MPO_2,\qquad \beta=\angle NPO_2. \] Тогда \[ \tan\alpha=\frac{r}{R+d},\qquad \tan\beta=\frac{r}{R-d}. \] Но \[ (R+d)(R-d)=R^2-d^2=R^2-(R^2-r^2)=r^2, \] поэтому \[ \tan\alpha\cdot\tan\beta =\frac{r^2}{(R+d)(R-d)}=1. \] Оба угла острые, значит, \[ \alpha+\beta=90^\circ. \] Биссектриса угла \(MPN\) образует с \(PO_2\) угол \[ \frac{\alpha+\beta}{2}=45^\circ. \] С другой стороны, \(O_1P=O_1K=r\) и \(O_1P\perp O_1K\), поэтому прямоугольный треугольник \(PO_1K\) равнобедренный и \[ \angle KPO_1=45^\circ. \] Значит, луч \(PK\) совпадает с биссектрисой \(\angle MPN\).

б) Если \(PN\) — биссектриса \(\angle KPS\)

В треугольнике \(PKS\) точка \(N\) лежит на стороне \(KS\). По теореме о биссектрисе: \[ \frac{KN}{NS}=\frac{PK}{PS}. \] При этом \[ PS=r,\qquad PK=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt2, \] поэтому \[ \frac{KN}{NS}=\sqrt2. \] Пусть \(NS=x\). Тогда \(KN=r-x\), и \[ \frac{r-x}{x}=\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad x=r(\sqrt2-1). \]

Теперь рассмотрим большую окружность. Если \(H\) — проекция \(O_2\) на \(q\), то \[ O_2H=r,\qquad O_2N=R, \] поэтому \[ HN=\sqrt{R^2-r^2}. \] Кроме того, \(SH=R\), значит, \[ NS=SH-HN=R-\sqrt{R^2-r^2}. \] Следовательно, \[ R-\sqrt{R^2-r^2}=r(\sqrt2-1). \] После преобразований: \[ R(\sqrt2-1)=r(2-\sqrt2)=r\sqrt2(\sqrt2-1), \] откуда \[ R=r\sqrt2. \] Значит, \[ \frac{r_1}{r_2}=\frac{r}{R}=\frac1{\sqrt2}. \]

Проверка: при \(R=r\sqrt2\) получаем \(NS=r(\sqrt2-1)\), \(KN=r(2-\sqrt2)\), и \[ \frac{KN}{NS}=\sqrt2=\frac{PK}{PS}, \] то есть \(PN\) действительно является биссектрисой.