Найдите:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
№ 5

Дано: $3{,}3 < \sqrt{11} < 3{,}4$; $3{,}6 < \sqrt{13} < 3{,}7$.

$a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l$ — целые числа или десятичные дроби.

1). $a < \sqrt{11} + \sqrt{13} < b$;

2). $c < \sqrt{13} - \sqrt{11} < d$;

3). $e < \sqrt{11} \cdot \sqrt{13} < f$;

4). $g < -2\sqrt{13} < h$;

5). $\frac{i}{j} < \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{13}} < \frac{k}{l}$, где $\frac{i}{j}, \frac{k}{l}$ — правильные несократимые дроби.

Найдите:

$a = 6{,}9$;

$b = 7{,}1$;

$c = 0{,}2$ [обрезано]

Answer

Краткий ответ

$$
a=6{,}9;\quad b=7{,}1;\quad c=0{,}2;\quad d=0{,}4;\quad e=11{,}88;\quad f=12{,}58;
$$
$$
g=-7{,}4;\quad h=-7{,}2;\quad \frac{i}{j}=\frac{33}{37};\quad \frac{k}{l}=\frac{17}{18}.
$$

Значения $a=6{,}9$, $b=7{,}1$, $c=0{,}2$, уже введённые на экране, — верные, остальные получаются так же.

Принцип

Сами корни вычислять не нужно — достаточно «зажать» их в интервалы и выполнять действия с границами. Если $p<x<q$ и $r<y<s$, причём все числа положительны, то:

сумма: $p+r<x+y<q+s$;

разность: $p-s<x-y<q-r$ (нижняя граница первого минус верхняя граница второго);

произведение: $pr<xy<qs$;

частное: $\frac{p}{s}<\frac{x}{y}<\frac{q}{r}$ (наименьшее делим на наибольшее, наибольшее — на наименьшее);

при умножении на отрицательное число знаки неравенства переворачиваются.

По пунктам

1. Складываем «одноимённые» границы:
$$
3{,}3+3{,}6=6{,}9,\qquad 3{,}4+3{,}7=7{,}1,
$$
поэтому $6{,}9<\sqrt{11}+\sqrt{13}<7{,}1$, то есть $a=6{,}9$, $b=7{,}1$.

2. Для разности вычитаемое «гуляет» в другую сторону:
$$
\sqrt{13}-\sqrt{11}>3{,}6-3{,}4=0{,}2,\qquad \sqrt{13}-\sqrt{11}<3{,}7-3{,}3=0{,}4.
$$
Значит, $c=0{,}2$, $d=0{,}4$. Типичная ошибка — считать $3{,}6-3{,}3$ и $3{,}7-3{,}4$: так нельзя, потому что уменьшаемое и вычитаемое меняются независимо.

3. Произведение: $\sqrt{11}\cdot\sqrt{13}=\sqrt{143}$, а границы:
$$
3{,}3\cdot3{,}6=11{,}88,\qquad 3{,}4\cdot3{,}7=12{,}58,
$$
откуда $e=11{,}88$, $f=12{,}58$.

4. Сначала умножаем на 2, затем на $-1$:
$$
3{,}6<\sqrt{13}<3{,}7\ \Rightarrow\ 7{,}2<2\sqrt{13}<7{,}4\ \Rightarrow\ -7{,}4<-2\sqrt{13}<-7{,}2,
$$
значит, $g=-7{,}4$, $h=-7{,}2$.

5. Частное: отношение $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{13}}$ меньше 1. Нижняя граница — наименьший числитель на наибольший знаменатель, верхняя — наоборот:
$$
\frac{3{,}3}{3{,}7}=\frac{33}{37},\qquad \frac{3{,}4}{3{,}6}=\frac{34}{36}=\frac{17}{18}.
$$
Обе дроби правильные и несократимые, поэтому $\frac{i}{j}=\frac{33}{37}$, $\frac{k}{l}=\frac{17}{18}$.

Проверка

По приближённым значениям $\sqrt{11}\approx3{,}317$, $\sqrt{13}\approx3{,}606$:

сумма $\approx6{,}922$ лежит между $6{,}9$ и $7{,}1$;

разность $\approx0{,}289$ лежит между $0{,}2$ и $0{,}4$;

произведение $\approx11{,}958$ лежит между $11{,}88$ и $12{,}58$;

$-2\sqrt{13}\approx-7{,}211$ лежит между $-7{,}4$ и $-7{,}2$;

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{13}}\approx0{,}920$, а $\frac{33}{37}\approx0{,}892$ и $\frac{17}{18}\approx0{,}944$.

Всё сходится. Подойдут и более широкие границы (например, $11<\sqrt{143}<13$), но из данных неравенств выжимаются именно эти — самые узкие.

Найдите:

Обсуждение

Краткий ответ

Как получены границы