Выписываем определения основных элементов треугольников , понятие равенства и чертим в тетради.

стятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны. Так, например, в равных треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), изображённых на рисунке 50, против соответственно равных сторон \(AB\) и \(A_1B_1\) лежат равные углы \(C\) и \(C_1\).

Равенство треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) обозначается так: \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\). Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые их элементы. Как это сделать, мы обсудим в следующих пунктах.

Такая возможность — установить равенство двух фигур, не производя наложения одной на другую, а измеряя и сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур, — важна для практики, например для сравнения двух земельных участков, которые, конечно, нельзя наложить друг на друга.

15 Первый признак равенства треугольников

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. Фактически мы уже имели дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о равенстве вертикальных углов является теоремой, а рассуждения, которые мы провели, чтобы установить

[Рисунок: два треугольника \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\); на их сторонах одинаковыми чёрточками отмечены соответственные равные стороны; подпись «Рис. 50». Ниже — фотография парусной лодки с двумя парусами на воде]

равенство вертикальных углов, и есть доказательство этой теоремы. В этом параграфе мы докажем одну из теорем о равенстве треугольников.

Теорема

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), у которых \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), углы \(A\) и \(A_1\) равны (рис. 51). Докажем, что \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).

Так как \(\angle A=\angle A_1\), то треугольник \(ABC\) можно наложить на треугольник \(A_1B_1C_1\) так, что вершина \(A\) совместится с вершиной \(A_1\), а стороны \(AB\) и \(AC\) наложатся соответственно на лучи \(A_1B_1\) и \(A_1C_1\). Поскольку \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), то сторона \(AB\) совместится со стороной \(A_1B_1\), а сторона \(AC\) — со стороной \(A_1C_1\); в частности, совместятся точки \(B\) и \(B_1\), \(C\) и \(C_1\). Следовательно, совместятся стороны \(BC\) и \(B_1C_1\). Итак, треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется первым признаком равенства треугольников.

[Рисунок: треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) с отмеченными равными сторонами и равными углами; подпись «Рис. 51»]

§1 Первый признак равенства треугольников

14 Треугольник

Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками (рис. 49, а). Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. На рисунке 49, б изображён треугольник с вершинами \(A\), \(B\), \(C\) и сторонами \(AB\), \(BC\) и \(CA\). Такой треугольник будем обозначать так: \(\triangle ABC\) (читается: «треугольник \(ABC\)»). Этот же треугольник можно обозначить иначе, записав буквы \(A\), \(B\), \(C\) в другом порядке: \(\triangle BCA\), \(\triangle CBA\) и т. д.

Три угла — \(\angle BAC\), \(\angle CBA\) и \(\angle ACB\) — называются углами треугольника \(ABC\). Часто их обозначают одной буквой: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\).

Сумма длин трёх сторон треугольника называется его периметром.

Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 50 изображены равные треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).

Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совме-

28 Глава II

[Рисунок: а) треугольник, подпись «Треугольник»; б) треугольник с вершинами A, B, C и сторонами AB, BC и CA, подпись «Треугольник с вершинами A, B, C и сторонами AB, BC и CA»; общая подпись «Рис. 49»]