Контрольная работа по теме «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Тригонометрические функции и их графики. Тригонометрические неравенства»

Я решил весь вариант. Краткие ответы:

1. а) \(0\); б) \(3\).
2. а) \(\frac73\); б) \(\sqrt3\), \(\frac1{27}\).
3. а) \(\left(\frac34;\frac52\right]\); б) \((4;+\infty)\).
4. а) \(-\frac{\pi}{3}+2\pi k<x<\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\);
   б) \(\pi k<x\le \frac{5\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).
5. \(D(y)=(0;+\infty)\), \(E(y)=\mathbb R\); график описан ниже.
6. \(a=-\frac32\).

1. Логарифмы

а) Так как \(0{,}2=\frac15\):

\[ \log_{0{,}2}125=\log_{1/5}5^3=-3, \]

\[ \log_7\frac1{343}=\log_7 7^{-3}=-3. \]

Поэтому

\[ -3-(-3)=0. \]

б) Используем \(\log_{125}3=\log_{5^3}3=\frac13\log_5 3\):

\[ \frac{\log_5 3}{\log_{125}3} = \frac{\log_5 3}{\frac13\log_5 3} =3. \]

2. Уравнения

а)

\[ \log_2(3x+1)=3 \]

по определению логарифма:

\[ 3x+1=2^3=8, \]

\[ 3x=7,\qquad x=\frac73. \]

Корень входит в ОДЗ \(3x+1>0\).

б) Обозначим \(t=\log_3 x\). Тогда

\[ \log_9 x=\frac12\log_3 x=\frac12t. \]

Уравнение:

\[ t^2+\frac52t-\frac32=0. \]

Умножим на \(2\):

\[ 2t^2+5t-3=0. \]

Дискриминант:

\[ D=25+24=49, \]

\[ t=\frac{-5\pm7}{4}. \]

Значит,

\[ t=\frac12 \quad\text{или}\quad t=-3. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ x=3^{1/2}=\sqrt3, \qquad x=3^{-3}=\frac1{27}. \]

3. Неравенства

а)

\[ \log_7(4x-3)\le1. \]

Сначала ОДЗ:

\[ 4x-3>0 \Rightarrow x>\frac34. \]

Так как \(1=\log_7 7\), а основание \(7>1\), знак неравенства сохраняется:

\[ 4x-3\le7, \]

\[ 4x\le10, \]

\[ x\le\frac52. \]

С учётом ОДЗ:

\[ \frac34<x\le\frac52. \]

б)

\[ \log_5(x^2-16)\ge\log_5(5x-20). \]

ОДЗ:

\[ x^2-16>0,\qquad 5x-20>0. \]

То есть \(x>4\). Основание \(5>1\), значит:

\[ x^2-16\ge5x-20, \]

\[ x^2-5x+4\ge0, \]

\[ (x-1)(x-4)\ge0. \]

Получаем \(x\le1\) или \(x\ge4\). Но по ОДЗ \(x>4\), поэтому

\[ x>4. \]

4. Тригонометрические неравенства

а)

\[ \cos x>\frac12. \]

На единичной окружности \(\cos x=\frac12\) в точках \(x=\pm\frac{\pi}{3}\), поэтому

\[ -\frac{\pi}{3}+2\pi k<x<\frac{\pi}{3}+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z. \]

б)

\[ \operatorname{ctg}x\ge-\sqrt3. \]

Период котангенса равен \(\pi\). На промежутке \((0;\pi)\) функция убывает, причём

\[ \operatorname{ctg}\frac{5\pi}{6}=-\sqrt3. \]

Значит, на каждом периоде:

\[ \pi k<x\le\frac{5\pi}{6}+\pi k, \quad k\in\mathbb Z. \]

5. График функции

\[ y=2-\log_{1/2}x. \]

Так как

\[ \log_{1/2}x=-\log_2 x, \]

то

\[ y=2+\log_2 x. \]

Поэтому график — обычная логарифмическая кривая \(y=\log_2 x\), сдвинутая на \(2\) единицы вверх.

Контрольные точки:

\[ \left(\frac12;1\right),\quad (1;2),\quad (2;3),\quad (4;4). \]

Вертикальная асимптота — ось \(Oy\).

\[ D(y)=(0;+\infty),\qquad E(y)=\mathbb R. \]

6. Нахождение \(a\)

По графику:

• минимум при \(x=0\) равен \(-2\);
• максимум при \(x=\pi\) равен \(1\).

Для функции

\[ f(x)=a\cos x+b \]

получаем:

\[ f(0)=a+b=-2, \]

\[ f(\pi)=-a+b=1. \]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[ (-a+b)-(a+b)=1-(-2), \]

\[ -2a=3, \]

\[ a=-\frac32. \]

Для проверки: \(b=-\frac12\), тогда \(f(0)=-2\), \(f(\pi)=1\).