Выписываем определения основных элементов треугольников , понятие равенства и чертим в тетради.
Сверь числа и знаки с фото.
…стятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.
Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны. Так, например, в равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁, изображённых на рисунке 50, против соответственно равных сторон AB и A₁B₁ лежат равные углы C и C₁.
Равенство треугольников обозначается так: ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые их элементы. Как это сделать, мы обсудим в следующих пунктах.
Такая возможность — установить равенство двух фигур, не производя наложения одной на другую, а измеряя и сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур, — важна для практики, например для сравнения двух земельных участков, которые, конечно, нельзя наложить друг на друга.
15 Первый признак равенства треугольников
В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. Фактически мы уже имели дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о равенстве вертикальных углов является теоремой, а рас…
[Рисунок: два треугольника, верхний с вершинами A, B, C, нижний — с вершинами A₁, B₁, C₁; на сторонах нанесены штрихи, у углов — дуги. Подпись: Рис. 50]
…равенство вертикальных углов, и есть доказательство этой теоремы. В этом параграфе мы докажем одну из теорем о равенстве треугольников.
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, углы A и A₁ равны (рис. 51). Докажем, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
Так как ∠A = ∠A₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, что вершина A совместится с вершиной A₁, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи A₁B₁ и A₁C₁. Поскольку AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, то сторона AB совместится со стороной A₁B₁, а сторона AC — со стороной A₁C₁; в частности, совместятся точки B и B₁, C и C₁. Следовательно, совместятся стороны BC и B₁C₁. Итак, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.
Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется первым признаком равенства треугольников.
Практические задания
87 Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами M, N и P. а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите периметр треугольника.
88 Начертите треугольник DEF так, чтобы угол E был прямым. Назовите: а) стороны, лежащие против углов D, E, F; б) углы, лежащие против сторон DE, EF, FD; в) углы, прилежащие к сторонам DE, EF, FD.
[Рисунок: два треугольника, у верхнего вершины A, B, C, у нижнего — C₁, A₁, B₁; отмечены равные стороны и равные углы при вершинах A и A₁. Подпись: Рис. 51]
§1 Первый признак равенства треугольников
14 Треугольник
Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками (рис. 49, а). Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. На рисунке 49, б изображён треугольник с вершинами A, B, C и сторонами AB, BC и CA. Такой треугольник будем обозначать так: ΔABC (читается: «треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначить иначе, записав буквы A, B, C в другом порядке: ΔBCA, ΔCBA и т. д.
Три угла — ∠BAC, ∠CBA и ∠ACB — называются углами треугольника ABC. Часто их обозначают одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.
Сумма длин трёх сторон треугольника называется его периметром.
Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 50 изображены равные треугольники ABC и A₁B₁C₁.
Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совме…
[Рисунок: а) треугольник с подписью «Треугольник»; б) треугольник с вершинами A, B, C и подписью «Треугольник с вершинами A, B, C и сторонами AB, BC и CA». Подпись: Рис. 49]
28 Глава II
Кратко
В тетрадь идут определения элементов треугольника, понятие равенства фигур и три чертежа. Ниже — готовые формулировки из учебника (их и переписывай) и объяснение, почему всё так устроено.
1. Что выписать (определения)
- Треугольник — геометрическая фигура, которую получают так: отмечают какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединяют их отрезками.
- Вершины — эти три точки. Стороны — отрезки, соединяющие вершины. Треугольник с вершинами \(A\), \(B\), \(C\) и сторонами \(AB\), \(BC\), \(CA\) обозначают \(\triangle ABC\) (читается «треугольник ABC»).
- Углы треугольника — \(\angle BAC\), \(\angle CBA\), \(\angle ACB\); кратко \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\).
- Периметр — сумма длин трёх сторон треугольника: \[P = AB + BC + CA.\]
- Равные фигуры — две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением.
- Тогда у равных треугольников соответственные (то есть совмещающиеся) элементы равны: \[\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \;\Rightarrow\; AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ CA=C_1A_1,\] \[\angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1.\]
- Против равных сторон лежат равные углы, и обратно: против равных углов лежат равные стороны.
(Далее в параграфе — теорема: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Это первый признак равенства треугольников.)
2. Как чертить в тетради
Чертёж 1. Треугольник \(\triangle ABC\). Произвольный треугольник, подпиши вершины \(A\), \(B\), \(C\), сверху подпиши стороны \(AB\), \(BC\), \(CA\), у вершин отметь углы дугами и подпиши \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\). Внизу запиши \(P = AB + BC + CA\).
Чертёж 2. Равные треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) (как на рис. 50): тот же треугольник, рядом его копия с индексом 1. Равные элементы помечают одинаково:
- \(AB\) и \(A_1B_1\) — одним штрихом,
- \(BC\) и \(B_1C_1\) — двумя штрихами,
- \(CA\) и \(C_1A_1\) — тремя штрихами;
- равные углы — одинаковым числом дуг (одна дуга у \(\angle A\) и \(\angle A_1\) и т. д.).
Под чертежом запиши: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Чертёж 3 (по заданию 87). Начерти треугольник \(MNP\), линейкой измерь \(MN\), \(NP\), \(PM\) и вычисли \(P_{MNP} = MN + NP + PM\) (в сантиметрах).
3. Почему это работает (принцип)
- Наложение — это мысленное наложение одной фигуры на другую. Когда совпадают вершины, вместе с ними совпадают и стороны, и углы, поэтому равенство «размножается» на все элементы.
- Накладывать в жизни не всегда можно (два земельных участка не наложишь), поэтому равенство устанавливают по некоторым элементам — это и есть признаки равенства.
- Порядок букв в записи равенства важен: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) значит \(A \leftrightarrow A_1\), \(B \leftrightarrow B_1\), \(C \leftrightarrow C_1\) (первая буква с первой, вторая со второй, третья с третьей). В самом обозначении одного треугольника порядок не важен: \(\triangle ABC = \triangle BCA\).
4. Проверь себя
Дано: \(\triangle MNK = \triangle PQR\). Назови сторону, равную \(NK\), и угол, равный \(\angle M\).
Разбор по правилу соответствия: \(M\leftrightarrow P\), \(N\leftrightarrow Q\), \(K\leftrightarrow R\), значит \(NK = QR\), \(\angle M = \angle P\); периметры тоже равны: \(MN+NK+KM = PQ+QR+RP\).
