323. Найдите корни уравнения: а) 16 + x² = 0; б) 0,3x² = 0,027; в) 0,5x² = 30; г) -5x² = 1/20; д) x³ - 3x = 0; е) x³ - 11x = 0.

На фото выделен № 323, поэтому решаю его.

Кратко а) действительных корней нет;
б) \(x=\pm 0{,}3\);
в) \(x=\pm 2\sqrt{15}\);
г) действительных корней нет;
д) \(x=0,\ \pm\sqrt{3}\);
е) \(x=0,\ \pm\sqrt{11}\).

Почему так

Главное правило: у уравнения \(x^2=a\):

• при \(a>0\) два корня: \(x=\pm\sqrt{a}\);
• при \(a=0\) один корень: \(x=0\);
• при \(a<0\) действительных корней нет.

1. а) \(16+x^2=0 \Rightarrow x^2=-16\). Квадрат неотрицателен, поэтому корней нет.

2. б) \(0{,}3x^2=0{,}027\). Делим на \(0{,}3\): \[ x^2=\frac{0{,}027}{0{,}3}=0{,}09, \] значит \[ x=\pm\sqrt{0{,}09}=\pm0{,}3. \]

3. в) \(0{,}5x^2=30\Rightarrow x^2=60\Rightarrow x=\pm\sqrt{60}=\pm2\sqrt{15}\).

4. г) \(-5x^2=\frac{1}{20}\Rightarrow x^2=-\frac{1}{100}\). Корней нет.

5. д) \(x^3-3x=0\). Выносим \(x\): \[ x(x^2-3)=0. \] Произведение равно нулю, когда \(x=0\) или \(x^2-3=0\). Поэтому \[ x=0,\ \pm\sqrt3. \]

6. е) аналогично: \[ x^3-11x=x(x^2-11)=0, \] поэтому \[ x=0,\ \pm\sqrt{11}. \]

Проверка: например, \(0{,}3\cdot(0{,}3)^2=0{,}3\cdot0{,}09=0{,}027\). Для д) при \(x=\sqrt3\): \[ (\sqrt3)^3-3\sqrt3=3\sqrt3-3\sqrt3=0. \]