188. 5) (√(3−x)+√(3+x))/(√(3−x)−√(3+x))=2

Краткий ответ: \(x=-\frac{12}{5}=-2{,}4\).

Как решать

\[ \frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}=2 \]

1. ОДЗ. Подкоренные выражения неотрицательны: \[ 3-x\ge0,\quad 3+x\ge0 \quad\Rightarrow\quad -3\le x\le3. \] Кроме того, знаменатель не равен нулю: \[ \sqrt{3-x}\ne\sqrt{3+x}\quad\Rightarrow\quad x\ne0. \]

2. Знак левой части. Если \(x>0\), то \(3-x<3+x\), поэтому \[ \sqrt{3-x}<\sqrt{3+x}. \] Знаменатель отрицателен, числитель положителен, значит, вся дробь отрицательна. Но справа стоит \(2>0\). Поэтому \(x>0\) не подходит, остаётся \(x<0\). При \(x<0\) знаменатель положителен, и можно спокойно умножать на него.

3. Замена. Обозначим \[ a=\sqrt{3-x},\qquad b=\sqrt{3+x}. \] Тогда \(a,b>0\), и уравнение принимает вид \[ \frac{a+b}{a-b}=2. \] Умножаем на \(a-b\ne0\): \[ a+b=2(a-b), \] \[ a+b=2a-2b, \] \[ 3b=a. \] То есть \[ \sqrt{3-x}=3\sqrt{3+x}. \]

4. Возводим в квадрат. Обе части неотрицательны, поэтому \[ 3-x=9(3+x). \] Раскрываем скобки: \[ 3-x=27+9x, \] \[ -24=10x, \] \[ x=-\frac{12}{5}=-2{,}4. \]

5. Проверка. При \(x=-2{,}4\): \[ 3-x=5{,}4,\qquad 3+x=0{,}6. \] Тогда \[ \sqrt{3-x}=\sqrt{5{,}4}=3\sqrt{0{,}6}, \] поэтому \[ \frac{3\sqrt{0{,}6}+\sqrt{0{,}6}}{3\sqrt{0{,}6}-\sqrt{0{,}6}} =\frac{4\sqrt{0{,}6}}{2\sqrt{0{,}6}}=2. \] Всё верно.

Ответ: \(x=-2{,}4\).