Для слабоуспевающих (Вариант 2) 1. Найдите площадь прямоугольника, если его длина равна 15 см, а ширина в 5 раз меньше.

Похожие задачи

1. Длина прямоугольника 18 см, а ширина в 3 раза меньше. Найди его площадь.
2. Периметр квадрата равен 36 см. Найди площадь этого квадрата.
3. Площадь прямоугольника \(54\ \text{см}^2\), а одна его сторона 6 см. Найди периметр.
4. Периметр прямоугольника 30 см, длина 9 см. Найди площадь.
5. Длина прямоугольника 12 см, а ширина на 4 см меньше. Найди площадь и периметр.

Ответы и проверка

1. Ширина: \(18:3=6\) см. \[ S=18\cdot6=108\ \text{см}^2 \]

2. Сторона: \(36:4=9\) см. \[ S=9\cdot9=81\ \text{см}^2 \]

3. Вторая сторона: \(54:6=9\) см. \[ P=2\cdot(6+9)=30\ \text{см} \]

4. Сумма длины и ширины: \(30:2=15\) см, значит ширина \(15-9=6\) см. \[ S=9\cdot6=54\ \text{см}^2 \]

5. Ширина: \(12-4=8\) см. \[ S=12\cdot8=96\ \text{см}^2,\qquad P=2\cdot(12+8)=40\ \text{см} \]

Обрати внимание на разницу формулировок

• «в 3 раза меньше» — делим.
• «на 4 см меньше» — вычитаем.
• Если дан периметр, сначала находят сумму двух соседних сторон: \(P:2\).
• Если дана площадь, неизвестную сторону находят делением: \(S:a\).

Реши сначала сам, а потом сверь шаги: так быстрее запомнишь, какое действие где нужно.

Чтобы найти новую площадь, нужно знать исходную: в условии указано только увеличение на \(30\%\).

Если старая площадь была \(S\), то она увеличилась на \[ 0{,}3S \] и стала \[ S+0{,}3S=1{,}3S. \]

То есть новая площадь составляет \(130\%\) от прежней. Например, если исходная площадь \(100\ \text{см}^2\), то новая: \[ 100\cdot1{,}3=130\ \text{см}^2. \]

Напиши исходную площадь — посчитаю точное значение.

Если исходная площадь равна \(54\), то:

\[ 30\%\ \text{от}\ 54=0{,}3\cdot54=16{,}2 \]

\[ 54+16{,}2=70{,}2 \]

Или сразу:

\[ 54\cdot1{,}3=70{,}2 \]

Ответ: новая площадь равна \(70{,}2\) кв. ед.
Если \(54\ \text{см}^2\), то получится \(70{,}2\ \text{см}^2\). Площадь увеличилась на \(16{,}2\).

В прямоугольнике \(ABCD\) соседние стороны \(AB\) и \(BC\) перпендикулярны, поэтому площадь равна их произведению:

\[ S=AB\cdot BC=4\cdot5=20\ \text{см}^2 \]

Ответ: \(20\ \text{см}^2\).

Биссектриса угла \(A\) для вычисления площади самого прямоугольника не нужна — она не меняет длины сторон.

Если в задании на самом деле требовалась площадь треугольника, образованного этой биссектрисой, уточни это — там ответ будет другим.

С учётом уточнения: \(BK=4\) см, \(KC=5\) см.

Точка \(K\) лежит на стороне \(BC\), поэтому \[ BC=BK+KC=4+5=9\ \text{см}. \]

Биссектриса угла \(A\) делит прямой угол \(90^\circ\) пополам, значит \[ \angle BAK=45^\circ. \] При этом \(\angle ABK=90^\circ\), так как \(AB\perp BC\). Тогда в треугольнике \(ABK\) второй острый угол тоже \(45^\circ\), поэтому он равнобедренный: \[ AB=BK=4\ \text{см}. \]

Площадь прямоугольника: \[ S=AB\cdot BC=4\cdot9=36\ \text{см}^2. \]

Ответ: \(36\ \text{см}^2\).

Предыдущий ответ \(20\ \text{см}^2\) был для условия \(AB=4\), \(BC=5\); после уточнения данных он не подходит.

Похожая задача

В прямоугольнике \(ABCD\) биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Известно, что \[ BK=6\ \text{см},\qquad KC=8\ \text{см}. \] Найдите площадь прямоугольника \(ABCD\).

Решение

Биссектриса прямого угла \(A\) делит его на два угла по \(45^\circ\). В треугольнике \(ABK\) угол \(B\) прямой, а \(\angle BAK=45^\circ\), значит, второй острый угол тоже \(45^\circ\). Поэтому \[ AB=BK=6\ \text{см}. \]

Точка \(K\) лежит на стороне \(BC\), поэтому \[ BC=BK+KC=6+8=14\ \text{см}. \]

Тогда площадь прямоугольника: \[ S=AB\cdot BC=6\cdot14=84\ \text{см}^2. \]

Ответ: \(84\ \text{см}^2\).

Ещё одна похожая задача

В прямоугольнике \(ABCD\) биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Известно, что \[ BK=7\ \text{см},\qquad KC=9\ \text{см}. \] Найдите площадь прямоугольника \(ABCD\).

Решение

1. Биссектриса делит прямой угол \(A\) пополам: \[ \angle BAK=45^\circ. \] Угол \(B\) прямой, значит в треугольнике \(ABK\) второй угол тоже \(45^\circ\), и треугольник равнобедренный: \[ AB=BK=7\ \text{см}. \]

2. Точка \(K\) лежит на \(BC\), поэтому \[ BC=BK+KC=7+9=16\ \text{см}. \]

3. Площадь: \[ S=AB\cdot BC=7\cdot16=112\ \text{см}^2. \]

Ответ: \(112\ \text{см}^2\).

Обратная задача — попробуй сам

Площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(150\ \text{см}^2\), а \(BK=5\) см. Найди \(KC\).

Подсказка: сначала \(AB=BK=5\) см, потом из площади найди \(BC\), а затем вычти \(BK\). Получится \(BC=30\) см и \(KC=25\) см.

Главная идея

Биссектриса прямого угла прямоугольника отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник. В твоей задаче это треугольник \(ABK\), поэтому

\[ AB=BK. \]

Дальше всё сводится к двум действиям: найти сторону \(BC=BK+KC\) и умножить её на \(AB\).

В общем виде, если \(BK=x\), \(KC=y\), то

\[ AB=x,\qquad BC=x+y, \] \[ S=x(x+y). \]

Алгоритм решения

1. Нарисуй прямоугольник \(ABCD\) и поставь точку \(K\) на стороне \(BC\).
2. Отметь, что угол \(B\) прямой: \(\angle ABK=90^\circ\).
3. Биссектриса делит угол \(A\) пополам: \[ \angle BAK=45^\circ. \]
4. В треугольнике \(ABK\) сумма углов \(180^\circ\), значит \[ \angle AKB=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ. \] Углы при вершинах \(A\) и \(K\) равны, поэтому треугольник равнобедренный: \[ AB=BK. \]
5. Вся сторона: \[ BC=BK+KC. \]
6. Площадь: \[ S=AB\cdot BC. \]

Пример

\(BK=11\) см, \(KC=6\) см.

Сначала:

\[ AB=BK=11\ \text{см}. \]

Потом:

\[ BC=11+6=17\ \text{см}. \]

Площадь:

\[ S=11\cdot17=187\ \text{см}^2. \]

Частые ошибки

• Берут \(KC\) вместо \(AB\). Но \(AB=BK\), а не \(KC\).
• Забывают сложить \(BK+KC\), находя только часть стороны.
• Считают площадь треугольника \(ABK\), хотя просят площадь всего прямоугольника.
• Путают «биссектриса» с медианой или высотой.

Потренируйся

1. \(BK=3\) см, \(KC=10\) см. Найди площадь.
2. \(BK=8\) см, \(KC=12\) см. Найди площадь.
3. Площадь равна \(108\ \text{см}^2\), \(KC=3\) см. Найди \(BK\).
4. Площадь равна \(70\ \text{см}^2\), \(KC=9\) см. Найди \(BK\).

Ответы для проверки

1. \(3\cdot(3+10)=39\ \text{см}^2\).
2. \(8\cdot(8+12)=160\ \text{см}^2\).
3. \(BK=9\) см: \(9\cdot(9+3)=108\).
4. \(BK=5\) см: \(5\cdot(5+9)=70\).

Если биссектриса в другом условии попадёт не на \(BC\), а на \(CD\), идея та же: ищи равнобедренный прямоугольный треугольник у соответствующей стороны.

Да, это самый аккуратный способ — через накрест лежащие углы.

Проведём \(AK\). В прямоугольнике \(ABCD\) противоположные стороны параллельны: \[ AD\parallel BC. \] Отрезок \(AK\) — секущая при этих параллельных прямых, поэтому \[ \angle DAK=\angle AKB \] как накрест лежащие углы.

При этом \(AK\) — биссектриса угла \(DAB\), значит \[ \angle DAK=\angle KAB. \]

Следовательно, \[ \angle KAB=\angle AKB. \]

В треугольнике \(ABK\) против этих равных углов лежат стороны:

• против \(\angle KAB\) лежит \(BK\);
• против \(\angle AKB\) лежит \(AB\).

Поэтому треугольник \(ABK\) равнобедренный: \[ AB=BK. \]

Дальше: \[ BC=BK+KC, \] \[ S=AB\cdot BC=BK(BK+KC). \]

Для примера \(BK=4\) см, \(KC=5\) см: \[ AB=4,\qquad BC=4+5=9, \] \[ S=4\cdot9=36\ \text{см}^2. \]

Ответ: \(36\ \text{см}^2\).

Главное в таких задачах: биссектриса даёт равенство углов, параллельные стороны — накрест лежащие углы, а равные углы в треугольнике дают равные стороны.