задание 188 пункт 6

Краткий ответ: \(x\in[2;7]\).

Как решать

1. ОДЗ: \(x+2\ge 0\), то есть \(x\ge -2\).

2. Введём замену: \[ t=\sqrt{x+2},\quad t\ge 0. \] Тогда \[ x=t^2-2. \]

3. Подставим в выражения под корнями: \[ x+6-4\sqrt{x+2}=t^2-2+6-4t=t^2-4t+4=(t-2)^2, \] \[ x+11-6\sqrt{x+2}=t^2-2+11-6t=t^2-6t+9=(t-3)^2. \]

4. Уравнение принимает вид: \[ \sqrt{(t-2)^2}+\sqrt{(t-3)^2}=1. \] Используем \(\sqrt{a^2}=|a|\): \[ |t-2|+|t-3|=1. \]

5. Сумма расстояний от точки \(t\) до чисел \(2\) и \(3\) равна \(1\). Расстояние между \(2\) и \(3\) тоже равно \(1\), значит \(t\) находится между ними: \[ 2\le t\le 3. \]

6. Возвращаемся к \(x\): \[ 2\le \sqrt{x+2}\le 3. \] Все части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат: \[ 4\le x+2\le 9, \] \[ 2\le x\le 7. \]

Проверка: при \(x=2\) и при \(x=7\) исходное уравнение даёт \(1\), а на всём отрезке \([2;7]\) сумма модулей остаётся равной \(1\).

Ответ: \(x\in[2;7]\).