Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла A делит сторону: а) BC на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Краткий ответ: а) \(P=198{,}1\) см; б) \(P=19{,}8\) дм \(=198\) см.

Как решать:

1. Биссектриса прямого угла \(A\) делит его на два угла по \(45^\circ\). Поэтому треугольник, который она отсекает от прямоугольника, получается прямоугольным и равнобедренным: катеты равны.

   • Если биссектриса пересекает \(BC\) в точке \(E\), то \(AB=BE\).
   • Если она пересекает \(DC\) в точке \(F\), то \(AD=DF\).

2. Пункт а). Считаем, что на стороне \(BC\) первый отрезок отложен от \(B\): \[ BE=45{,}6\text{ см},\qquad EC=7{,}85\text{ см}. \] Тогда \[ BC=BE+EC=45{,}6+7{,}85=53{,}45\text{ см}, \] а так как \(AB=BE\), то \(AB=45{,}6\) см. Периметр: \[ P=2(AB+BC)=2(45{,}6+53{,}45)=198{,}1\text{ см}. \]

3. Пункт б). На стороне \(DC\) аналогично берём \[ DF=2{,}7\text{ дм},\qquad FC=4{,}5\text{ дм}. \] Тогда \[ DC=DF+FC=2{,}7+4{,}5=7{,}2\text{ дм}, \] а \(AD=DF=2{,}7\) дм. Периметр: \[ P=2(AD+DC)=2(2{,}7+7{,}2)=19{,}8\text{ дм}=198\text{ см}. \]

Проверка: в пункте а) \(AB<AD\) (\(45{,}6<53{,}45\)), поэтому биссектриса действительно пересекает \(BC\). В пункте б) \(AD<AB\) (\(2{,}7<7{,}2\)), поэтому она пересекает \(DC\). Это согласуется с условием.