406 Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, AC = 10,5 см.

Ответ: периметр ромба равен \(42\) см.

Как рассуждаем

1. В ромбе все стороны равны, поэтому \(AB=BC=CD=AD\).
2. Рассмотрим треугольник \(ABC\). В нём \(AB=BC\), то есть треугольник равнобедренный с углом \(60^\circ\) при вершине \(B\).
3. У равнобедренного треугольника углы при основании равны: \[ \angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ. \] Значит, все три угла треугольника \(ABC\) равны \(60^\circ\), и он равносторонний.
4. Поэтому \[ AB=BC=AC=10{,}5\text{ см}. \]
5. Периметр ромба — это сумма четырёх одинаковых сторон: \[ P=4\cdot 10{,}5=42\text{ см}. \]

Проверка: сторона \(10{,}5\) см, четыре стороны дают \(10{,}5+10{,}5+10{,}5+10{,}5=42\) см — сходится.

Принцип на будущее: если в ромбе известна диагональ, противолежащая углу \(60^\circ\), то она равна стороне ромба: треугольник из двух сторон и этой диагонали получается равносторонним. Если же известен угол \(120^\circ\), удобнее брать другую диагональ.