по плану из 1-5 пунктов исследуй функцию под номером 12 из 6 задачи

Question

Расшифровка фото нейросетью:
№ 30. $y=\frac{x^3-27x+54}{x^3}$. Схема исследования ф-ции: 1) $D(y)=\{x:\ x\ne0\}$; 2) $f(-x)=\frac{(-x)^3-27(-x)+54}{(-x)^3}=\frac{-x^3+27x+54}{-x^3}$, $f(-x)\ne f(x)$, $f(-x)\ne -f(x)$, ф-ция общего вида; 3) Точки пересечения с осями координат. Интервалы знакопостоянства. $Oy:\ x=0\notin D(y)$, график оси $Oy$ не пересекает. $y=0:\ x^3-27x+54=0$, $(x-3)^2(x+6)=0$, $x=3$, $x=-6$. [Рисунок: числовая прямая с отметками $-6, 0, 3$ и знаками $+,-,+,+$]

4. Исследование на непрерывность; верт. асимптоты графика ф-ции. $x=0$. $\lim_{x\to0}\frac{x^3-27x+54}{x^3}=\infty$. $x=0$ — точка разрыва II-го рода. $x=0$ — верт. асимптота гр. ф-ции. [Рисунок: координатные оси; отмечены $-6$ и $3$; вертикальная асимптота $x=0$; горизонтальная штриховая линия; ветви графика.] 5) Исследование поведения ф-ции в бесконечно удалённой точке, наклонные асимптоты. $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-27x+54}{x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\left(1-\frac{27}{x^2}+\frac{54}{x^3}\right)}{x^4}=0$

Задача 6. Найти асимптоты и построить графики функций.
12. $y=\frac{4x^3-3x}{4x^2-1}$.

Answer

Для № 12:
$$
f(x)=\frac{4x^3-3x}{4x^2-1}.
$$

Краткий ответ. Область определения: $x\ne \pm\frac12$. Функция нечётная. Нули: $x=0,\ \pm\frac{\sqrt3}{2}$. Вертикальные асимптоты: $x=-\frac12$ и $x=\frac12$. Наклонная асимптота: $y=x$; горизонтальной нет. График состоит из трёх возрастающих ветвей.

По пунктам 1–5

1) Область определения.
$$
4x^2-1=(2x-1)(2x+1)\ne0,
$$
поэтому
$$
D(f)=\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;\frac12\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).
$$
Важно: $x=0$ входит в область определения, то есть через начало координат график проходит; вертикальных асимптот при $x=0$ нет.

2) Чётность/нечётность.
$$
f(-x)=\frac{4(-x)^3-3(-x)}{4(-x)^2-1}
=\frac{-4x^3+3x}{4x^2-1}=-f(x).
$$
Значит, функция нечётная: её график симметричен относительно начала координат.

3) Точки пересечения с осями и интервалы знакопостоянства.

С осью $Oy$: при $x=0$
$$
y=0,
$$
то есть точка $(0;0)$.

С осью $Ox$: $y=0$, значит
$$
4x^3-3x=x(4x^2-3)=0,
$$
откуда
$$
x=0,\qquad x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.
$$
Точки: $(0;0)$, $\left(-\frac{\sqrt3}{2};0\right)$, $\left(\frac{\sqrt3}{2};0\right)$.

Знаки функции:
$$
\begin{array}{c|cccccc}
x & \left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{2}\right) &
\left(-\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right) &
\left(-\frac12;0\right) &
\left(0;\frac12\right) &
\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right) &
\left(\frac{\sqrt3}{2};+\infty\right)\
\hline
f(x) & - & + & - & + & - & +
\end{array}
$$

4) Непрерывность и вертикальные асимптоты.

В точках $x=\pm\frac12$ знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю, поэтому там разрывы II рода. Односторонние пределы:
$$
\lim_{x\to\left(-\frac12\right)^-}f(x)=+\infty,\qquad
\lim_{x\to\left(-\frac12\right)^+}f(x)=-\infty;
$$
$$
\lim_{x\to\left(\frac12\right)^-}f(x)=+\infty,\qquad
\lim_{x\to\left(\frac12\right)^+}f(x)=-\infty.
$$
Следовательно,
$$
x=-\frac12,\qquad x=\frac12
$$
— вертикальные асимптоты.

5) Поведение на бесконечности и наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту $y=kx+b$:
$$
k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}
=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x^3-3x}{4x^3-x}=1.
$$
Далее
$$
b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)
=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-2x}{4x^2-1}=0.
$$
Значит, наклонная асимптота:
$$
\boxed{y=x}.
$$
Горизонтальной асимптоты нет.

Как выглядит график

Можно проверить форму ветвей производной:
$$
f'(x)=\frac{16x^4+3}{(4x^2-1)^2}>0
$$
на всей области определения. Поэтому на каждом из промежутков
$$
\left(-\infty;-\frac12\right),\quad
\left(-\frac12;\frac12\right),\quad
\left(\frac12;+\infty\right)
$$
функция возрастает; экстремумов нет.

Полезные точки для построения:
$$
(-2;-\tfrac{26}{15}),\quad
(-1;-\tfrac13),\quad
(-\tfrac14;-\tfrac{11}{12}),\quad
(0;0),
$$
$$
(\tfrac14;\tfrac{11}{12}),\quad
(1;\tfrac13),\quad
(2;\tfrac{26}{15}).
$$

Три ветви:

левая: при $x\to-\infty$ уходит вниз, пересекает $Ox$ в точке $-\frac{\sqrt3}{2}$, затем при $x\to-\frac12^-$ уходит в $+\infty$;

средняя: при $x\to-\frac12^+$ идёт от $-\infty$, проходит через $(0;0)$, при $x\to\frac12^-$ уходит в $+\infty$;

правая: при $x\to\frac12^+$ идёт от $-\infty$, пересекает $Ox$ в точке $\frac{\sqrt3}{2}$, затем при $x\to+\infty$ уходит в $+\infty$.