Сколько углов каждого вида в образовавшихся треугольниках?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: точки K, M, N, T последовательно расположены на одной прямой; из точки L проведены отрезки LK, LM, LN и LT; при вершинах L и N отмечены прямые углы.]
Сколько углов каждого вида в образовавшихся треугольниках?
Тупых углов Прямых углов Острых углов

Сколько углов каждого вида в образовавшихся треугольниках?
Тупых углов | Прямых углов | Острых углов
В треугольнике TLM | 3 | 0 | 0
В треугольнике KLM | 1 | 0 | 2
В треугольнике TLN | 0 | 1 | 2

Answer

Ответ:

Треугольник |
Тупых углов |
Прямых углов |
Острых углов |

$TLM$ |
0 |
0 |
3 |

$KLM$ |
1 |
0 |
2 |

$TLN$ |
0 |
1 |
2 |

В первой строке сейчас выбрано $3$ тупых угла, но это невозможно: у треугольника не может быть трёх тупых углов. Правильно — $0,0,3$.

Прямой угол при $N$ — это угол треугольника $TLN$, а не $TLM$ или $KLM$: в этих треугольниках $N$ не является вершиной.

Как рассуждать:

1. По рисунку $K,M,N,T$ лежат на одной прямой, $LN\perp KT$, а $\angle KLT=90^\circ$.

2. Обозначим $\angle LKT=\alpha$, $\angle KTL=\beta$. Тогда $\alpha+\beta=90^\circ$. Из прямоугольных треугольников с высотой $LN$:
$$
\angle KLN=\beta,\qquad \angle TLN=\alpha.
$$

3. Точка $M$ лежит между $K$ и $N$, поэтому луч $LM$ проходит внутри угла $KLN$. Пусть $\angle KLM=\gamma$, тогда $0<\gamma<\beta$. В $\triangle KLM$:
$$
\angle MKL=\alpha,\quad \angle KLM=\gamma,
$$
$$
\angle KML=180^\circ-\alpha-\gamma>90^\circ,
$$
так как $\alpha+\gamma<90^\circ$. Значит, в $KLM$ один тупой угол и два острых.

4. В $\triangle TLM$:
$$
\angle LTM=\beta,\quad
\angle TLM=90^\circ-\gamma,\quad
\angle LMT=\alpha+\gamma.
$$
Все эти углы меньше $90^\circ$, то есть в $TLM$ три острых угла.

5. В $\triangle TLN$ угол при $N$ прямой, а углы при $T$ и $L$ равны $\beta$ и $\alpha$; они острые.

Проверка: в каждом треугольнике сумма углов $180^\circ$, а в каждой строке таблицы количество углов равно $3$.

Сколько углов каждого вида в образовавшихся треугольниках?

Обсуждение