Ширина прямоугольника равна 3/26 м, а его длина на 5/52 м больше. а) Найдите длину прямоугольника. б) Найдите периметр прямоугольника.

Кратко: а) длина — \(\frac{11}{52}\) м; б) периметр — \(\frac{17}{26}\) м; в) периметр увеличится на \(\frac{9}{65}\) м.

Как решать

а) Приведём ширину к знаменателю \(52\): \[ \frac{3}{26}=\frac{6}{52}. \] Длина на \(\frac{5}{52}\) м больше: \[ \frac{6}{52}+\frac{5}{52}=\frac{11}{52}\text{ м}. \]

б) Периметр прямоугольника: \[ P=2(a+b). \] Подставляем ширину и длину: \[ P=2\left(\frac{3}{26}+\frac{11}{52}\right) =2\left(\frac{6}{52}+\frac{11}{52}\right) =2\cdot\frac{17}{52} =\frac{17}{26}\text{ м}. \]

в) Каждая сторона входит в периметр дважды, поэтому увеличение периметра равно удвоенной сумме увеличений сторон: \[ \Delta P=2\left(\frac{2}{65}+\frac{3}{78}\right). \] Сначала сократим \(\frac{3}{78}=\frac{1}{26}\): \[ \Delta P=2\left(\frac{2}{65}+\frac{1}{26}\right). \] Общий знаменатель \(130\): \[ \frac{2}{65}=\frac{4}{130},\qquad \frac{1}{26}=\frac{5}{130}. \] Тогда \[ \Delta P=2\cdot\frac{9}{130} =\frac{18}{130} =\frac{9}{65}\text{ м}. \]

Проверка: старый периметр \(\frac{17}{26}=\frac{85}{130}\) м; новый периметр \(\frac{103}{130}\) м; разность \(\frac{18}{130}=\frac{9}{65}\) м. Всё сходится.