номер 223 б,г,е

Краткий ответ

• б) \(y=\pm2,\ \pm\sqrt2\);
• г) \(x=\pm1,\ \pm\frac{1}{2}\);
• е) \(y=\pm\frac{1}{2}\).

Идея решения

В биквадратном уравнении есть только четвёртая и вторая степени. Обозначаем квадрат переменной через \(t\), причём \(t\ge0\). Получаем квадратное уравнение относительно \(t\). После нахождения \(t\) возвращаемся к исходной переменной: если \(t>0\), то переменная равна \(\pm\sqrt{t}\); если \(t=0\), получается \(0\); если \(t<0\), действительных корней нет.

б) \(y^4-6y^2+8=0\).

Пусть \(t=y^2\), \(t\ge0\). Тогда: \[ t^2-6t+8=0. \] По теореме Виета \(t_1=2,\ t_2=4\). Оба значения неотрицательны. Возвращаемся: \[ y^2=2\Rightarrow y=\pm\sqrt2,\qquad y^2=4\Rightarrow y=\pm2. \] Ответ: \(\pm\sqrt2,\ \pm2\).

г) \(4x^4-5x^2+1=0\).

Пусть \(t=x^2\), \(t\ge0\): \[ 4t^2-5t+1=0. \] \[ D=(-5)^2-4\cdot4\cdot1=9,\qquad t_{1,2}=\frac{5\pm3}{8}. \] \[ t_1=1,\qquad t_2=\frac{1}{4}. \] Оба значения подходят. Тогда: \[ x^2=1\Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}. \] Ответ: \(\pm1,\ \pm\frac{1}{2}\).

е) \(16y^4-8y^2+1=0\).

Пусть \(t=y^2\), \(t\ge0\): \[ 16t^2-8t+1=0. \] \[ (4t-1)^2=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}. \] Тогда: \[ y^2=\frac{1}{4}\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}. \] Ответ: \(\pm\frac{1}{2}\).

Проверка

Я проверил подстановкой: например, \(y=2\) в б) даёт \(16-24+8=0\); \(x=\frac{1}{2}\) в г) даёт \(\frac{1}{4}-\frac{5}{4}+1=0\); \(y=\frac{1}{2}\) в е) даёт \(1-2+1=0\). Остальные корни отличаются только знаком, а степени чётные, поэтому тоже подходят.