153. Упростите выражение: а) (a²+2a+1)·(1/(a+1)+1/(a²−1)−1/(a−1));

Хорошо, разберу медленнее — с пояснением каждого шага. Заодно сформулирую общий план, по которому решается любое похожее задание.

Общий план: три действия

1. Разложить на множители всё, что раскладывается: \((a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2\), \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), вынесение общего множителя.
2. Привести к общему знаменателю и сложить/вычесть только числители (знаменатель при этом один и тот же).
3. Сократить одинаковые множители и записать ограничения: знаменатель не может быть нулём.

Дальше — по пунктам.

---

а) \((a^2+2a+1)\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{a^2-1}-\dfrac{1}{a-1}\right)\)

Шаг 1. Разложить на множители. Замечаем слева полный квадрат, а в знаменателе — разность квадратов: \[ a^2+2a+1=(a+1)^2,\qquad a^2-1=(a-1)(a+1). \]

Шаг 2. Общий знаменатель скобки. Он должен делиться на каждый из трёх знаменателей \(a+1\), \((a-1)(a+1)\) и \(a-1\). Такой знаменатель — \((a-1)(a+1)\). Каждой дроби не хватает своего множителя:

\[ \frac{1}{a+1}=\frac{\color{blue}{(a-1)}}{\color{blue}{(a-1)}(a+1)},\qquad \frac{1}{a^2-1}=\frac{1}{(a-1)(a+1)},\qquad \frac{1}{a-1}=\frac{\color{blue}{(a+1)}}{(a-1)\color{blue}{(a+1)}}. \]

Шаг 3. Сложить числители. Знаменатель пишем один раз, а числители складываем в скобках: \[ \frac{(a-1)+1-(a+1)}{(a-1)(a+1)}. \] Раскрываем: \(a-1+1-a-1=-1\). Получаем \[ \frac{-1}{(a-1)(a+1)}. \]

Шаг 4. Умножение. Умножаем на \((a+1)^2\): \[ (a+1)^2\cdot\frac{-1}{(a-1)(a+1)}=-\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}=-\frac{a+1}{a-1}. \] Сократили один множитель \((a+1)\) — из двух в числителе и одного в знаменателе осталось по одному.

Ограничения: \(a\ne 1\) и \(a\ne -1\) (иначе знаменатели \(a-1\), \(a+1\), \(a^2-1\) обнуляются).

---

б) \(\left(1-\dfrac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\dfrac{1}{3x}-\dfrac12\right)+1\)

Шаг 1. Первая скобка. Единицу представляем как \(\frac{12x}{12x}\): \[ 1-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x}{12x}-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x-(9x^2+4)}{12x}. \] Здесь самая частая ошибка — забыть, что минус перед дробью меняет знак у всех слагаемых: \[ 12x-(9x^2+4)=12x-9x^2-4. \]

Шаг 2. Узнать квадрат. Проверяем, не полный ли это квадрат: \(9x^2=(3x)^2\), \(4=2^2\), а средний член должен быть \(2\cdot 3x\cdot 2=12x\) — он есть. Значит \(9x^2-12x+4=(3x-2)^2\), поэтому \[ 12x-9x^2-4=-(9x^2-12x+4)=-(3x-2)^2, \] и первая скобка равна \(-\dfrac{(3x-2)^2}{12x}\).

Шаг 3. Вторая скобка. Общий знаменатель \(6x\): \[ \frac{1}{3x}-\frac12=\frac{2}{6x}-\frac{3x}{6x}=\frac{2-3x}{6x}=-\frac{3x-2}{6x}. \]

Шаг 4. Деление. Делить на дробь — значит умножать на перевёрнутую: \[ \left(-\frac{(3x-2)^2}{12x}\right):\left(-\frac{3x-2}{6x}\right) =\frac{(3x-2)^2}{12x}\cdot\frac{6x}{3x-2}. \] Минус на минус даёт плюс; сокращаем \(6x\) с \(12x\) (остаётся \(2\) в знаменателе) и один множитель \((3x-2)\): \[ =\frac{3x-2}{2}. \]

Шаг 5. Прибавить 1: \(\dfrac{3x-2}{2}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{3x}{2}\).

Ограничения: \(x\ne 0\) и \(3x-2\ne 0\), то есть \(x\ne \frac23\).

---

в) \(1-\left(\dfrac{2}{a-2}-\dfrac{2}{a+2}\right)\left(a-\dfrac{3a+2}{4}\right)\)

Шаг 1. Первая скобка. Общий знаменатель \(a^2-4=(a-2)(a+2)\), доп. множители \((a+2)\) и \((a-2)\): \[ \frac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{2a+4-2a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{8}{a^2-4}. \] Обрати внимание: \(2\cdot(a+2)=2a+4\) и \(-2\cdot(a-2)=-2a+4\) — здесь вычитание дало плюс в ответе, а не минус.

Шаг 2. Вторая скобка. \(a=\dfrac{4a}{4}\), и снова следим за знаком: \[ a-\frac{3a+2}{4}=\frac{4a-(3a+2)}{4}=\frac{4a-3a-2}{4}=\frac{a-2}{4}. \]

Шаг 3. Умножение. Второй множитель «съедает» часть знаменателя: \[ \frac{8}{(a-2)(a+2)}\cdot\frac{a-2}{4}=\frac{2}{a+2} \] (сократили \(8:4=2\) и множитель \((a-2)\)).

Шаг 4. Вычитание: \[ 1-\frac{2}{a+2}=\frac{a+2}{a+2}-\frac{2}{a+2}=\frac{a+2-2}{a+2}=\frac{a}{a+2}. \]

Ограничения: \(a\ne 2\), \(a\ne -2\).

---

г) \((y^2-4)\left(\dfrac{3}{y+2}-\dfrac{2}{y-2}\right)+5\)

Шаг 1. Скобка. \(y^2-4=(y-2)(y+2)\), доп. множители \((y-2)\) и \((y+2)\): \[ \frac{3(y-2)-2(y+2)}{y^2-4}=\frac{3y-6-2y-4}{y^2-4}=\frac{y-10}{y^2-4}. \]

Шаг 2. Умножение. Знаменатель дроби в точности равен \(y^2-4\), поэтому он сокращается целиком: \[ (y^2-4)\cdot\frac{y-10}{y^2-4}=y-10. \]

Шаг 3. \(y-10+5=y-5\).

Ограничения: \(y\ne 2\), \(y\ne -2\).

---

Как проверить себя за 20 секунд

Подставь любое удобное число, не входящее в запрещённые. Например, в пункте а) при \(a=2\): \[ (4+4+1)\left(\frac13+\frac13-1\right)=9\cdot\left(-\frac13\right)=-3, \] и ответ \(-\dfrac{a+1}{a-1}=-\dfrac31=-3\). Совпало — значит преобразования верны.

---

Три ошибки, из-за которых теряют баллы

1. Сокращают слагаемые. \(\dfrac{a+1}{a-1}\) сократить нельзя: сверху и снизу не множители, а суммы.
2. Теряют минус перед дробью. \(12x-(9x^2+4)=12x-9x^2-4\), а не \(12x-9x^2+4\).
3. Забывают ОДЗ. Ответ без условий \(a\ne\pm1\) (и аналогичных) считается неполным, если в задании просят найти область допустимых значений.

Если хочешь, разберём отдельно правило «как быстро находить общий знаменатель» на паре примеров — или проверим твоё собственное решение по этому номеру.