объясни простым языком и как можно кратче эти темы:
Сверь числа и знаки с фото.
5.5. Умножение и деление рациональных дробей в степени.
Вы знаете правила умножения и деления обыкновенных дробей. Их можно выразить следующими равенствами: \[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\quad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}. \] По аналогичным правилам выполняют умножение и деление рациональных дробей.
Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.
Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя, а знаменатель — произведению знаменателя делимого и числителя делителя.
Пример 1. Выполните действия:
- \(\frac{21c^6}{b^8}\cdot\frac{b^2}{14c^4}\);
- \((2x-12)\cdot\frac{4x}{x^2-12x+36}\);
- \(\frac{a^2+2ab}{a+9}:\frac{a^2-4b^2}{3a+27}\);
- \(\frac{5c^2-35c}{c+2}:(c-7)\).
Решение. 1) Имеем: \[ \frac{21c^6}{b^8}\cdot\frac{b^2}{14c^4}=\frac{21c^6\cdot b^2}{b^8\cdot14c^4}=\frac{3c^2}{2b^6}. \] 2) Представив многочлен \(2x-12\) в виде дроби со знаменателем 1, получаем: \[ (2x-12)\cdot\frac{4x}{x^2-12x+36}=\frac{2x-12}{1}\cdot\frac{4x}{x^2-12x+36}=\frac{2(x-6)\cdot4x}{(x-6)^2}=\frac{8x}{x-6}. \] 3) \(\frac{a^2+2ab}{a+9}:\frac{a^2-4b^2}{3a+27}=\frac{a(a+2b)}{a+9}\cdot\frac{3(a+9)}{(a-2b)(a+2b)}=\frac{3a}{a-2b}\). 4) \(\frac{5c^2-35c}{c+2}:(c-7)=\frac{5c^2-35c}{c+2}\cdot\frac{1}{c-7}=\frac{5c(c-7)}{c+2}\cdot\frac{1}{c-7}=\frac{5c}{c+2}\).
Правило умножения двух рациональных дробей можно обобщить. Например, для трёх дробей имеем: \[ \frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}\cdot\frac{P}{Q}=\frac{A\cdot C\cdot P}{B\cdot D\cdot Q}. \]
Пример 2. Упростите выражение \(\frac{2a^5}{15b^3}\cdot\frac{10b^2}{7c^4}:\frac{4a^2}{9bc^3}\).
Решение. Имеем: \[ \frac{2a^5}{15b^3}\cdot\frac{10b^2}{7c^4}:\frac{4a^2}{9bc^3}=\frac{2a^5}{15b^3}\cdot\frac{10b^2}{7c^4}\cdot\frac{9bc^3}{4a^2}=\frac{2a^5\cdot10b^2\cdot9bc^3}{15b^3\cdot7c^4\cdot4a^2}=\frac{2\cdot10\cdot9\cdot a^5b^3c^3}{15\cdot7\cdot4\cdot a^2b^3c^4}=\frac{3a^3}{7c}. \]
Применяя правило умножения рациональных дробей, можно получить правило возведения рациональных дробей в степень. Для натурального \(n\), \(n>1\), имеем: \[ \left(\frac{A}{B}\right)^n=\underbrace{\frac{A}{B}\cdot\frac{A}{B}\cdot\ldots\cdot\frac{A}{B}}_{n\text{ множителей}}=\frac{\overbrace{A\cdot A\cdot\ldots\cdot A}^{n\text{ множителей}}}{\underbrace{B\cdot B\cdot\ldots\cdot B}_{n\text{ множителей}}}=\frac{A^n}{B^n}. \] Для \(n=1\) договорились, что \(\left(\frac{A}{B}\right)^1=\frac{A}{B}\). Следовательно, \[ \left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n},\text{ где }n\text{ — натуральное число.} \] Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Первый результат записать как числитель, а второй — как знаменатель дроби.
Пример 3. Представьте в виде дроби выражение \(\left(-\frac{3a^2}{2bc^4}\right)^3\). Решение. \[ \left(-\frac{3a^2}{2bc^4}\right)^3=-\left(\frac{3a^2}{2bc^4}\right)^3=-\frac{(3a^2)^3}{(2bc^4)^3}=-\frac{27a^6}{8b^3c^{12}}. \]
Вопросы:
- Что является произведением двух рациональных дробей?
- Что является частным двух рациональных дробей?
- Как возвести рациональную дробь в степень?
Упражнения 143. Какому из данных выражений равно произведение \(\frac{a^3}{c^8}\cdot\frac{c^4}{a^3}\)?
- \(\frac{1}{c^2}\); 2) \(\frac{a}{c^2}\); 3) \(\frac{1}{c^4}\); 4) \(\frac{a}{c^4}\).
§ 6. Тождественные преобразования рациональных выражений
Правила действий над рациональными дробями позволяют любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Упростите выражение \[ \left(\frac{a-4}{a-2}-\frac{2a^2-4}{a^2-4}\right):\frac{6a}{a-2}. \] Решение. Аналогично нахождению значения числового выражения, содержащего несколько арифметических действий, данное выражение можно упростить, выполняя действия в соответствии с порядком выполнения арифметических действий: сначала — вычитание выражений, стоящих в скобках, затем — деление и наконец — вычитание:
- \(\frac{3a}{a-2}-\frac{6a}{a^2-4a+4}=\frac{3a}{a-2}-\frac{6a}{(a-2)^2}=\frac{3a^2-6a-6a}{(a-2)^2}=\frac{3a^2-12a}{(a-2)^2}\);
- \(\frac{3a^2-12a}{(a-2)^2}:\frac{a-4}{a^2-4}=\frac{3a^2-12a}{(a-2)^2}\cdot\frac{a^2-4}{a-4}=\frac{3a(a-4)}{(a-2)^2}\cdot\frac{(a-2)(a+2)}{a-4}=\frac{3a(a+2)}{a-2}=\frac{3a^2+6a}{a-2}\);
- \(\frac{3a^2+6a}{a-2}-\frac{2a^2+8a}{a-2}=\frac{3a^2+6a-2a^2-8a}{a-2}=\frac{a^2-2a}{a-2}=\frac{a(a-2)}{a-2}=a\). Ответ: \(a\).
Преобразование рационального выражения можно выполнять не по отдельным действиям, а цепочкой. Проиллюстрируем сказанное на следующем примере.
- \(\frac{3a}{a-2}-\frac{6a}{a^2-4a+4}=\frac{3a}{a-2}-\frac{6a}{(a-2)^2}=\frac{3a^2-6a-6a}{(a-2)^2}=\frac{3a^2-12a}{(a-2)^2}\);
- \(\frac{3a^2-12a}{(a-2)^2}:\frac{a-4}{a^2-4}=\frac{3a^2-12a}{(a-2)^2}\cdot\frac{a^2-4}{a-4}=\frac{3a(a-4)}{(a-2)^2}\cdot\frac{(a-2)(a+2)}{a-4}=\frac{3a(a+2)}{a-2}=\frac{3a^2+6a}{a-2}\);
- \(\frac{3a^2+6a}{a-2}-\frac{2a^2+8a}{a-2}=\frac{3a^2+6a-2a^2-8a}{a-2}=\frac{a^2-2a}{a-2}=\frac{a(a-2)}{a-2}=a\). Ответ: \(a\).
Преобразование рационального выражения можно выполнять не по отдельным действиям, а цепочкой. Проиллюстрируем сказанное на следующем примере.
Пример 2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения \(\frac{3a}{a-3}+\frac{a+5}{18-6a}\cdot\frac{54a}{5a+a^2}\) не зависит от значения \(a\). Решение. Упростим данное выражение: \[ \frac{3a}{a-3}+\frac{a+5}{18-6a}\cdot\frac{54a}{5a+a^2}=\frac{3a}{a-3}+\frac{a+5}{6(3-a)}\cdot\frac{54a}{a(5+a)}=\frac{3a}{a-3}+\frac{9}{3-a}=\frac{3a}{a-3}-\frac{9}{a-3}=\frac{3a-9}{a-3}=\frac{3(a-3)}{a-3}=3. \] Следовательно, при всех допустимых значениях \(a\) значение данного выражения равно 3.
Пример 3. Докажите тождество \[ \left(\frac{a-7}{3a-1}+\frac{a-7}{a+1}\right)\cdot\frac{3a-1}{a^2-7a}=\frac{4}{a+1}. \] Решение. Преобразуем левую часть доказываемого равенства. Здесь целесообразно раскрыть скобки, применяя распределительное свойство умножения: \[ \left(\frac{a-7}{3a-1}+\frac{a-7}{a+1}\right)\cdot\frac{3a-1}{a^2-7a}=\frac{a-7}{3a-1}\cdot\frac{3a-1}{a(a-7)}+\frac{a-7}{a+1}\cdot\frac{3a-1}{a(a-7)}=\frac{1}{a}+\frac{3a-1}{a(a+1)}=\frac{a+1+3a-1}{a(a+1)}=\frac{4a}{a(a+1)}=\frac{4}{a+1}. \] Тождество доказано.
Пример 4. Упростите выражение \[ \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}}. \] Решение. Записав данное выражение в виде частного от деления числителя на знаменатель, получим: \[ \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right):\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=\frac{bc+ac+ab}{abc}:\frac{c+a+b}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}\cdot\frac{abc}{c+a+b}=\frac{bc+ac+ab}{c+a+b}. \] Данное выражение можно упростить иным способом, используя основное свойство дроби, а именно: умножить её числитель и знаменатель на одночлен \(abc\): \[ \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}}=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)abc}{\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)abc}=\frac{\frac{1}{a}\cdot abc+\frac{1}{b}\cdot abc+\frac{1}{c}\cdot abc}{\frac{1}{ab}\cdot abc+\frac{1}{bc}\cdot abc+\frac{1}{ac}\cdot abc}=\frac{bc+ac+ab}{c+a+b}. \] Ответ: \(\frac{bc+ac+ab}{c+a+b}\).
Упражнения 176. Упростите выражение:
- \(\left(\frac{a}{3}+\frac{a}{4}\right)\cdot\frac{6}{a^2}\);
- \(\frac{a^2b}{a-b}\cdot\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)\);
- \(\left(1+\frac{a}{b}\right):\left(1-\frac{a}{b}\right)\);
- \(\left(\frac{5}{m-n}-\frac{4}{m+n}\right):\frac{m+9n}{m+n}\);
- \(\frac{x-2}{x+2}\cdot\left(x-\frac{x^2}{x-2}\right)\);
- \(\frac{x^2+x}{4}:\frac{x^2}{4}+\frac{x-1}{x}\).
Коротко по темам с фото — §5 и §6.
1. Умножение и деление дробей \[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}. \] При умножении «верх с верхом, низ с низом». При делении переворачиваешь вторую дробь и умножаешь. Перед этим раскладывай на множители и сокращай. Сокращать можно только множители, а не слагаемые.
2. Степень дроби \[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}. \] В степень возводятся и числитель, и знаменатель. Минус перед дробью в нечётной степени остаётся.
3. Тождественные преобразования Это упрощение выражения по порядку действий: скобки → умножение/деление → сложение/вычитание. Главные инструменты: общий знаменатель, формулы сокращённого умножения, вынесение общего множителя. Если после сокращения переменная исчезла — выражение от неё не зависит. Доказать тождество — значит преобразовать одну часть так, чтобы получилась другая.
4. Многоэтажная дробь Это деление верхней дроби на нижнюю. Можно перевернуть нижнюю и умножить; или умножить верх и низ на общий знаменатель.
Мини-примеры
- \(\frac{21c^6}{b^8}\cdot\frac{b^2}{14c^4}=\frac{3c^2}{2b^6}\).
- \(\frac{a^2+2ab}{a+9}:\frac{a^2-4b^2}{3a+27}=\frac{a(a+2b)}{a+9}\cdot\frac{3(a+9)}{(a-2b)(a+2b)}=\frac{3a}{a-2b}\).
- \(\left(-\frac{3a^2}{2bc^4}\right)^3=-\frac{27a^6}{8b^3c^{12}}\).
- \(\frac{3a}{a-3}+\frac{a+5}{18-6a}\cdot\frac{54a}{5a+a^2}=3\) — \(a\) сократилась.
- \(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}}=\frac{bc+ac+ab}{c+a+b}\).
Проверка Подставь \(a=b=c=1\) в последний пример: \(\frac{3}{3}=1\) и \(\frac{1+1+1}{1+1+1}=1\). Я проверил — сходится. Так можно проверять любое преобразование.
Важно Следи за ОДЗ: знаменатель не равен нулю. Например, в \(\frac{3a}{a-3}\) нельзя брать \(a=3\).
Обсуждение
6 сообщенийНет наверное разбери только 6й параграф, я не особо понимаю как выполнять ОДЗ
§6. ОДЗ — область допустимых значений
Коротко: ОДЗ — это все значения переменной, при которых выражение можно посчитать. В дробях запрещено одно: знаменатель не может быть равен нулю. Больше в §6 ограничений нет.
Как находить (3 шага)
- Выпиши каждый знаменатель (в том числе знаменатели «этажей» многоэтажной дроби).
- Приравняй каждый к нулю и реши уравнение.
- Все найденные корни — выколоть (записать \(x \neq \ldots\)).
Примеры
- \(\dfrac{x+3}{x-5}\): \(x-5=0 \Rightarrow x=5\). ОДЗ: \(x \neq 5\).
- \(\dfrac{3a}{a^2-9}\): \(a^2-9=0 \Rightarrow a=\pm 3\). ОДЗ: \(a \neq -3,\ a \neq 3\).
- \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x-1}\): два знаменателя. ОДЗ: \(x \neq 0,\ x \neq 1\).
- \(\dfrac{7}{x^2+1}\): \(x^2+1=0\) корней нет, значит знаменатель никогда не ноль. ОДЗ: любое \(x\).
- \(\dfrac{5}{x^2}\): \(x^2 = 0 \Rightarrow x=0\). ОДЗ: \(x \neq 0\).
Главная ловушка §6
После сокращения выражение часто «становится шире», но ОДЗ берётся по исходному выражению.
\[ \frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 \quad \text{при } x \neq 3 \]
Сократили — но \(x=3\) всё равно нельзя: в исходной дроби там был ноль в знаменателе. При этом \(x=-3\) можно — после разложения на множители внизу осталось только \(x-3\), а \(x+3\) ушло в числитель.
\[ \frac{a-2}{a^2-4}\cdot\frac{a+2}{a}=\frac{1}{a}, \quad a \neq 2,\ a \neq -2,\ a \neq 0 \]
Тут \(a=2\) и \(a=-2\) дают ноль в первом знаменателе, \(a=0\) — во втором. В ответе пишем упрощённое \(\frac{1}{a}\) и все три запрета.
Как это спрашивают в задании
- «Найдите ОДЗ» или «при каких значениях выражение не имеет смысла» — это одно и то же, отвечаешь списком \(x \neq \ldots\).
- «Упростите» — пишешь упрощённый результат и рядом ОДЗ.
- В тождестве вроде \(\frac{3a}{a-3}+\ldots=3\) пишут «тождество верно при \(a \neq 0,\ a \neq 3\)».
Проверка: подставь найденный запрещённый корень в исходное выражение — должен получиться ноль в знаменателе. Подставил \(a=3\) в \(\frac{3a}{a-3}\) — внизу ноль, значит выколот верно.
Хочешь, дам 2–3 своих примера на ОДЗ, а ты пришлёшь ответы — я проверю.
Там ещё со скобками { ну эта хрень... Забыла, как называется... Короче там идёт сначала пример, а позже они делятся вроде на систему и получается 2,3, к и более допустимых значений где одно из них верное
Фигурная скобка и «одно из них верное»
Ты смешала две разные записи:
| Запись | Название | Смысл |
|---|---|---|
| \(\begin{cases}\ldots\\ \ldots\end{cases}\) | система | все условия сразу — «и» |
| \(\left[\begin{array}{l}\ldots\\ \ldots\end{array}\right.\) | совокупность | хватит одного — «или» |
Проще запомнить: у фигурной скобки «концы сходятся» — всё вместе; у квадратной «полочки» — можно взять любую.
Где что в ОДЗ
ОДЗ — это система (запреты действуют все сразу):
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}:\qquad \begin{cases} x-2 \neq 0 \\ x-3 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \neq 2,\ x \neq 3 \]
Внизу не должно быть нуля ни в первой дроби, ни во второй — значит оба запрета одновременно.
А вот «выражение не имеет смысла при…» — это совокупность, потому что достаточно одного случая:
\[ \left[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \end{array}\right. \quad\text{то есть } x=2 \text{ или } x=3 \]
Вот это и есть твоё «2, 3 и более значений, где одно верное» — там «или», поэтому квадратная скобка, а не фигурная.
Ещё пример
\[ \frac{5}{(x-1)(x+4)} \]
Система: \[ \begin{cases} x-1 \neq 0 \\ x+4 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \neq 1,\ x \neq -4 \]
Не имеет смысла при \(x=1\) или \(x=-4\) — совокупность.
Как писать в тетради
ОДЗ почти всегда пишут просто через запятую: \(x \neq 2,\ x \neq 3\). Фигурную скобку ставят, когда условий много и хочется показать, что они одновременные.
Если в §6 есть конкретный пример с такой скобкой — пришли его, разберу именно на нём.
Нет нет там именно фигурная скобка
Понял. Тогда фигурная скобка — это система: её условия выполняются одновременно, все сразу.
Но если внутри скобки у тебя стоят числа вроде 2, 3, 5 — это не «или», а просто перечень найденных значений (набор), и дальше каждое проверяют по ОДЗ: подошло — оставляем, не подошло — вычёркиваем как посторонний корень. Вот отсюда и «одно из них верное»: остальные не проходят.
Мини-пример \[ \frac{x^2-5x+6}{x-2}=0 \] Числитель: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\), значит \(x=2\) или \(x=3\).
Система-проверка: \[ \begin{cases} x-2 \neq 0 \\[2pt] x \in \{2;\ 3\} \end{cases} \] Из набора \(\{2;\,3\}\) значение \(x=2\) не годится (знаменатель ноль), остаётся \(x=3\).
То есть порядок такой: решил → выписал все кандидаты через запятую → прогнал каждого через ОДЗ → оставил подходящих.
Скинь фото или текст этого места из §6 — разберу ровно на твоём примере, чтобы скобка не путалась.
