Определить с какой силой притягивается к Земле трактор массой 25,5 тонн 37,5 тонн

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
I вариант — №1 — II вариант
Определить с какой силой притягивается к Земле трактор массой: I — 25,5 тонн; II — 37,5 тонн.
№2. Определить силу притяжения для тела массой: I — 3 центнера; II — 2 центнера; на высоте: I — $3R$; II — $2R$ от поверхности Земли.
№3. Определить как изменится сила притяжения, если расстояние увеличить в: I — 4 раза; II — 5 раз, а их массы уменьшить в 100 раз каждую.
№4. Определить силу притяжения для спутника массой 15 т на высоте: I — 150 км; II — 300 км, если $M_З=6\cdot10^{24}$ кг, $R_З=6,4\cdot10^3$ км, $G=6,67\cdot10^{-11}$ Н·м²/кг².

Answer

На доске два варианта — решаю оба. Для №1 и №2 беру $g=9{,}8\ \text{Н/кг}$; значения округлены.

Краткий ответ

I вариант

1. $F\approx2{,}50\cdot10^5$ Н — примерно $250$ кН.

2. $F\approx184$ Н.

3. Сила уменьшится в $160\,000$ раз.

4. $F\approx1{,}40\cdot10^5$ Н — примерно $140$ кН.

II вариант

1. $F\approx3{,}68\cdot10^5$ Н — примерно $368$ кН.

2. $F\approx218$ Н.

3. Сила уменьшится в $250\,000$ раз.

4. $F\approx1{,}34\cdot10^5$ Н — примерно $134$ кН.

Как это получается

1. У поверхности Земли сила притяжения:
$$
F=mg.
$$
Для I варианта:
$$
m=25{,}5\ \text{т}=25\,500\ \text{кг},
$$
$$
F=25\,500\cdot9{,}8\approx2{,}50\cdot10^5\ \text{Н}.
$$
Для II варианта аналогично:
$$
F=37\,500\cdot9{,}8\approx3{,}68\cdot10^5\ \text{Н}.
$$

2. На высоте $h$ расстояние до центра Земли равно $R+h$, поэтому
$$
F=G\frac{Mm}{(R+h)^2}=mg\frac{R^2}{(R+h)^2}.
$$
Для I варианта: $h=3R$, значит $R+h=4R$, а $m=3$ центнера $=300$ кг:
$$
F=300\cdot9{,}8\cdot\frac{1}{4^2}\approx184\ \text{Н}.
$$
Для II варианта: $h=2R$, значит $R+h=3R$, а $m=2$ центнера $=200$ кг:
$$
F=200\cdot9{,}8\cdot\frac{1}{3^2}\approx218\ \text{Н}.
$$

3. Сила притяжения пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния:
$$
F\sim\frac{m_1m_2}{r^2}.
$$
Если каждую массу уменьшить в $100$ раз, произведение масс уменьшится в $10\,000$ раз. Если расстояние увеличить в $n$ раз, сила уменьшится ещё в $n^2$ раз. Итого:
$$
\frac{F'}{F}=\frac{1}{10\,000\,n^2}.
$$
Для I варианта $n=4$:
$$
\frac{F'}{F}=\frac{1}{10\,000\cdot16}=\frac{1}{160\,000}.
$$
Для II варианта $n=5$:
$$
\frac{F'}{F}=\frac{1}{10\,000\cdot25}=\frac{1}{250\,000}.
$$

4. Для спутника используем общий закон:
$$
F=G\frac{Mm}{(R+h)^2}.
$$
Дано:
$$
m=15\ \text{т}=1{,}5\cdot10^4\ \text{кг},\quad
R=6{,}4\cdot10^6\ \text{м}.
$$
Для $h=150$ км:
$$
F=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot1{,}5\cdot10^4}
{(6{,}4\cdot10^6+1{,}5\cdot10^5)^2}
\approx1{,}40\cdot10^5\ \text{Н}.
$$
Для $h=300$ км:
$$
F=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot1{,}5\cdot10^4}
{(6{,}4\cdot10^6+3{,}0\cdot10^5)^2}
\approx1{,}34\cdot10^5\ \text{Н}.
$$

Проверка: при $h=0$ формула для высоты даёт $F=mg$, а с ростом высоты сила должна уменьшаться — так и получается.

Если в классе принимают $g=10$, то для №1: $2{,}55\cdot10^5$ Н и $3{,}75\cdot10^5$ Н; для №2: $188$ Н и $222$ Н.