Задача под номером 508

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Глава 2, § 2, п. 2

508 Докажи истинность утверждения и найди частное (a, b, c, x, y ∈ N):

1. сумма 56 056 + 112 делится на 56;

2. разность 474 747 − 47 · 5 делится на 47;

3. разность 16xy − 72 делится на 8;

4. сумма 3abc + 19a делится на a.

[Рисунок: мальчик красит табурет, рядом ведро с краской и кисть]

Answer

Краткий ответ

1. $56056+112=56\cdot1003$ — делится, частное 1003;

2. $474747-47\cdot5=47\cdot10096$ — делится, частное 10096;

3. $16xy-72=8(2xy-9)$ — делится, частное $2xy-9$;

4. $3abc+19a=a(3bc+19)$ — делится, частное $3bc+19$.

Главная идея

Работает распределительный закон:

$$
ac+bc=c(a+b),\qquad ac-bc=c(a-b).
$$

Если каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое) делится на одно и то же число, то и их сумма (разность) делится на него, а множитель можно вынести за скобки. Именно вынесенный множитель и показывает делимость, а выражение в скобках — это частное.

Разбор по пунктам

1) $56056=56\cdot1000+56=56\cdot1001$, а $112=56\cdot2$. Значит,

$$
56056+112=56\cdot1001+56\cdot2=56\cdot(1001+2)=56\cdot1003.
$$

Оба слагаемых делятся на 56, поэтому и сумма делится: частное 1003.
Проверка: $56\cdot1003=56168$, и $56056+112=56168$. ✔

2) $474747=47\cdot10101$ (так как $47\cdot10000=470000$, $47\cdot101=4747$). Тогда

$$
474747-47\cdot5=47\cdot10101-47\cdot5=47\cdot(10101-5)=47\cdot10096.
$$

Частное 10096.
Проверка: $474747-235=474512$, $47\cdot10096=474512$. ✔

3) Здесь выносим 8: $16xy=8\cdot2xy$, $72=8\cdot9$, поэтому

$$
16xy-72=8\cdot2xy-8\cdot9=8(2xy-9).
$$

Частное $2xy-9$.
Проверка при $x=2,\ y=3$: $16\cdot6-72=24$, и $8\cdot(12-9)=24$. ✔

4) Общий множитель — $a$: $3abc=a\cdot3bc$, $19a=a\cdot19$, откуда

$$
3abc+19a=a\cdot3bc+a\cdot19=a(3bc+19).
$$

Частное $3bc+19$.
Проверка при $a=2,\ b=1,\ c=3$: $3\cdot2\cdot1\cdot3+19\cdot2=56$, и $2\cdot(9+19)=56$. ✔

Вывод: в каждом пункте мы не считали «в столбик», а представляли числа и выражения через общий множитель — это и есть доказательство делимости.