1. Упростите выражение: 1) (a−2)/(a+2) − (a+2)/(a−2) : 12a²/(4−a²)

На фото несколько номеров, поэтому я разобрал все видимые задания. Если нужен только один — назови его номер.

Краткий ответ

1. 1. \(\frac{2}{3a}\); 2) \(\frac{5(a-3)}{a}\); 3) \(7-m\).
2. Имеют смысл пункты 1, 2, 4; пункт 3 — нет.
3. 1. \(5{,}1\); 2) \(1\); 3) \(-9\).
4. \(x=25;\ 8;\ 0{,}5;\ 49;\ \pm2\).
5. \(6\) см, \(10\) см, \(14\) см.
6. \(16\) см и \(12\) см.
7. \(64^\circ,116^\circ,64^\circ,116^\circ\).
8. \(16\) см.

1. Упростите выражение

1)
\[ \left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right):\frac{12a^2}{4-a^2} \] Сначала приводим разность к общему знаменателю: \[ \frac{(a-2)^2-(a+2)^2}{(a+2)(a-2)} =\frac{-8a}{a^2-4}. \] Деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{-8a}{a^2-4}\cdot\frac{4-a^2}{12a^2} =\frac{-8a}{a^2-4}\cdot\frac{-(a^2-4)}{12a^2} =\frac{2}{3a}. \] Ответ: \(\boxed{\frac{2}{3a}}\), \(a\ne0,\pm2\).

2) \[ \frac{5a}{a+3}+\frac{a-6}{3a+9}\cdot\frac{135}{6a-a^2}. \] Так как \(3a+9=3(a+3)\), а \(6a-a^2=a(6-a)\): \[ \frac{a-6}{3(a+3)}\cdot\frac{135}{a(6-a)} =-\frac{45}{a(a+3)}. \] Тогда \[ \frac{5a}{a+3}-\frac{45}{a(a+3)} =\frac{5a^2-45}{a(a+3)} =\frac{5(a-3)}{a}. \] Ответ: \(\boxed{\frac{5(a-3)}{a}}\), \(a\ne0,-3,6\).

3) \[ \frac{m-\frac{14m-49}{m}}{\frac7m-1}. \] Числитель: \[ m-\frac{14m-49}{m}=\frac{m^2-14m+49}{m}=\frac{(m-7)^2}{m}. \] Знаменатель: \[ \frac7m-1=\frac{7-m}{m}=-\frac{m-7}{m}. \] Поэтому \[ \frac{(m-7)^2/m}{-(m-7)/m}=-(m-7)=7-m. \] Ответ: \(\boxed{7-m}\), \(m\ne0,7\).

2. Имеет ли смысл выражение

В действительных числах под корнем не может стоять отрицательное число.

1. \(\sqrt5\) — имеет смысл;
2. \(-\sqrt5\) — имеет смысл;
3. \(\sqrt{-5}\) — не имеет смысла;
4. \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\) — имеет смысл.

Ответ: \(\boxed{1,2,4}\).

3. Найдите значение выражения

1) Если читать запись как \(\sqrt{2^2}+1\), то: \[ \sqrt{49\cdot0{,}09}+\sqrt{2^2}+1 =2{,}1+2+1=5{,}1. \] Ответ: \(\boxed{5{,}1}\).

Если в твоей записи \(+1\) входит под корень, то было бы \(2{,}1+\sqrt5\).

2) \[ 0{,}2\sqrt{400}-\frac13\sqrt{81} =0{,}2\cdot20-\frac13\cdot9 =4-3=1. \] Ответ: \(\boxed{1}\).

3) \[ 5\sqrt{0{,}64}-\sqrt{5^2+12^2} =5\cdot0{,}8-\sqrt{25+144} =4-13=-9. \] Ответ: \(\boxed{-9}\).

4. Решите уравнение

Используем: \(\sqrt A=0\Rightarrow A=0\), а \(\sqrt x=c\Rightarrow x=c^2\) при \(c\ge0\).

1. \(\sqrt x=5\Rightarrow x=25\).
2. \(\sqrt{x-8}=0\Rightarrow x-8=0\Rightarrow x=8\).
3. \(\sqrt{6x-3}=0\Rightarrow 6x-3=0\Rightarrow x=0{,}5\).
4. \(\frac{21}{\sqrt x}=3\Rightarrow \sqrt x=7\Rightarrow x=49\).
5. \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\).

Геометрия

57. Стороны треугольника, вершины которого — середины сторон данного, являются средними линиями и равны половинам сторон исходного треугольника. Поэтому их отношение тоже \(3:5:7\), а периметр равен половине исходного, то есть \(30\) см.

Пусть стороны \(3k,5k,7k\): \[ 3k+5k+7k=30,\quad 15k=30,\quad k=2. \] Стороны: \(\boxed{6,10,14}\) см.

70. Пусть большее основание \(a\), меньшее \(b\). Высота из тупого угла отсекает на большем основании отрезок \(b\), а второй отрезок равен \(a-b\). По условию \[ b:(a-b)=3:1. \] Отсюда \(a=\frac43b\). Средняя линия: \[ \frac{a+b}{2}=14\Rightarrow a+b=28. \] Тогда \[ \frac43b+b=28,\quad \frac73b=28,\quad b=12, \] \[ a=16. \] Ответ: \(\boxed{16\text{ см и }12\text{ см}}\).

Проверка: \(12:4=3:1\), средняя линия \((16+12):2=14\).

71. Пусть острый угол трапеции при большем основании равен \(\alpha\). Боковая сторона равна меньшему основанию, поэтому треугольник, образованный боковой стороной, меньшим основанием и диагональю, равнобедренный.

Диагональ образует с основанием \(32^\circ\), значит угол при основании этого треугольника равен \(\alpha-32^\circ\). Второй угол при основании тоже \(\alpha-32^\circ\), а угол при верхней вершине трапеции равен \(180^\circ-\alpha\). Сумма углов треугольника: \[ (\alpha-32^\circ)+(180^\circ-\alpha)+(\alpha-32^\circ)=180^\circ. \] Отсюда \(\alpha=64^\circ\). Тогда тупые углы равны \(180^\circ-64^\circ=116^\circ\).

Ответ: \(\boxed{64^\circ,116^\circ,64^\circ,116^\circ}\).

46. Пусть сторона ромба \(a\). Высота из тупого угла попала в середину стороны, значит в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(a\), а один катет равен \(a/2\). Тогда косинус острого угла ромба: \[ \cos\alpha=\frac{a/2}{a}=\frac12, \] поэтому \(\alpha=60^\circ\). В треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и меньшей диагональю, две стороны равны \(a\), угол между ними \(60^\circ\), значит треугольник равносторонний. Меньшая диагональ тоже равна \(a\).

По условию она равна \(16\) см, поэтому сторона ромба: \[ \boxed{16\text{ см}}. \]