577 Точки D и E лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC. Найдите: а) S_ADE, если AB=5 см, AC=6 см, AD=3 см, AE=2 см, S_ABC=10 см².

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
577 Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Найдите: а) $S_{ADE}$, если $AB=5$ см, $AC=6$ см, $AD=3$ см, $AE=2$ см, $S_{ABC}=10$ см²; б) $AD$, если $AB=8$ см, $AC=3$ см, $AE=2$ см, $S_{ABC}=10$ см², $S_{ADE}=2$ см².
578 Найдите площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, если:
а) $AB=21$ см, $CD=17$ см, высота $BH$ равна $7$ см;
б) $\angle D=30^\circ$, $AB=2$ см, $CD=10$ см, $DA=8$ см;
в) $BC\perp AB$, $AB=5$ см, $BC=8$ см, $CD=13$ см.
579 Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны $6$ см, а больший угол равен $135^\circ$.
580 Тупой угол равнобедренной трапеции равен $135^\circ$, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки $1{,}4$ см и $3{,}4$ см. Найдите площадь трапеции.

Answer

На фото сразу четыре задачи — 577–580. Номер не указан, поэтому разобрал все.

Задача |
Краткий ответ |

577 |
а) $2$ см²; б) $2{,}4$ см |

578 |
а) $133$ см²; б) $24$ см²; в) $72$ см² |

579 |
$54$ см² |

580 |
$4{,}76$ см² |

Как это получается

577

У треугольников $ADE$ и $ABC$ общий угол $A$, поэтому отношение их площадей равно произведению отношений сторон, выходящих из этого угла:

$$
\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}.
$$

а)

$$
\frac{S_{ADE}}{10}=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{6}
=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}
=\frac{1}{5}.
$$

Значит,

$$
S_{ADE}=\frac{10}{5}=2\text{ см}^2.
$$

б)

$$
\frac{2}{10}=\frac{AD}{8}\cdot\frac{2}{3}.
$$

Тогда

$$
\frac{1}{5}=\frac{AD}{12},
\qquad
AD=\frac{12}{5}=2{,}4\text{ см}.
$$

578

Для трапеции:

$$
S=\frac{a+b}{2}\cdot h,
$$

где $a,b$ — основания, $h$ — высота.

а) $AB=21$, $CD=17$, $h=7$:

$$
S=\frac{21+17}{2}\cdot7=19\cdot7=133\text{ см}^2.
$$

б) Угол $D$ равен $30^\circ$, боковая сторона $AD=8$. Высота:

$$
h=AD\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4\text{ см}.
$$

$$
S=\frac{2+10}{2}\cdot4=6\cdot4=24\text{ см}^2.
$$

в) $BC\perp AB$, а $AB\parallel CD$, значит, $BC$ — высота. Поэтому $h=8$:

$$
S=\frac{5+13}{2}\cdot8=9\cdot8=72\text{ см}^2.
$$

579

В прямоугольной трапеции две меньшие стороны — это меньшее основание и высота. Поэтому

$$
b=h=6\text{ см}.
$$

Больший угол $135^\circ$, значит, острый угол при большем основании равен $45^\circ$. Проекция наклонной боковой стороны на большее основание равна высоте, то есть $6$ см. Поэтому большее основание:

$$
a=6+6=12\text{ см}.
$$

$$
S=\frac{12+6}{2}\cdot6=9\cdot6=54\text{ см}^2.
$$

580

Угол $135^\circ$ даёт острый угол $45^\circ$. Высота из тупого угла образует прямоугольный равнобедренный треугольник, поэтому отрезок большего основания от острого угла до основания высоты равен высоте $h$.

Большее основание:

$$
1{,}4+3{,}4=4{,}8\text{ см}.
$$

Если бы $h=3{,}4$, меньшее основание получилось бы отрицательным. Значит,

$$
h=1{,}4\text{ см}.
$$

Меньшее основание:

$$
4{,}8-2\cdot1{,}4=2\text{ см}.
$$

$$
S=\frac{4{,}8+2}{2}\cdot1{,}4
=3{,}4\cdot1{,}4
=4{,}76\text{ см}^2.
$$

Главный принцип для похожих задач: в трапеции сначала находи высоту, а основания связывай через проекции боковых сторон; угол $135^\circ$ удобно заменять углом $45^\circ$ в прямоугольном треугольнике.

Задача	Краткий ответ
577	а) \(2\) см²; б) \(2{,}4\) см
578	а) \(133\) см²; б) \(24\) см²; в) \(72\) см²
579	\(54\) см²
580	\(4{,}76\) см²