Решите неравенство |2x + 3| ≤ 4x.

Краткий ответ: \[ x\in\left[\frac{3}{2};+\infty\right), \quad \text{то есть } x\ge\frac32. \]

Как решать

1. Слева стоит модуль, он неотрицателен. Поэтому если \(4x<0\), то есть \(x<0\), неравенство невозможно: неотрицательное число не может быть меньше отрицательного. Значит, рассматриваем \(x\ge0\), тогда \(4x\ge0\).

2. При \(4x\ge0\) используем равносильный переход: \[ |A|\le B \iff -B\le A\le B. \] Получаем: \[ -4x\le 2x+3\le 4x. \]

3. Решаем левую часть: \[ -4x\le2x+3 \iff -6x\le3 \iff x\ge-\frac12. \] Здесь важно: при делении на \(-6\) знак неравенства меняется.

4. Решаем правую часть: \[ 2x+3\le4x \iff 3\le2x \iff x\ge\frac32. \]

5. Нужно, чтобы выполнялись оба условия одновременно: \[ x\ge-\frac12 \quad \text{и} \quad x\ge\frac32. \] Более сильное ограничение — \(x\ge\frac32\). Условие \(x\ge0\) при этом уже выполнено.

Проверка

• При \(x=2\): \(|2\cdot2+3|=7\), \(4x=8\), \(7\le8\) — верно.
• При \(x=1\): \(|5|=5\), \(4x=4\), \(5\le4\) — неверно.
• При \(x=\frac32\): \(|6|=6\), \(4x=6\), \(6\le6\) — граница входит, так как неравенство нестрогое.

Ответ: \[ \left[\frac32;+\infty\right). \]