3) ∛(x + 2y) + ∛(x − y + 2) = 3, 2x + y = 7;
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- \[\begin{cases}\sqrt[3]{x+2y}+\sqrt[3]{x-y+2}=3,\\2x+y=7;\end{cases}\]
Ответ: \((2;3)\) и \(\left(\frac{13}{3};-\frac53\right)\).
Как решать
Из второго уравнения: \[ y=7-2x. \] Тогда подкоренные выражения равны: \[ x+2y=14-3x,\qquad x-y+2=3x-5. \]
Обозначим \[ u=\sqrt[3]{14-3x},\qquad v=\sqrt[3]{3x-5}. \] Первое уравнение системы даёт: \[ u+v=3. \] Кроме того, \[ u^3+v^3=(14-3x)+(3x-5)=9. \]
Используем формулу \[ (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v). \] Подставляем: \[ 27=9+3uv\cdot 3, \] откуда \[ uv=2. \] Значит, \(u\) и \(v\) — корни уравнения \[ t^2-3t+2=0, \] то есть \(u\) и \(v\) равны \(1\) и \(2\) в каком-то порядке.
Получаем два случая:
Если \(u^3=1\), \(v^3=8\): \[ 14-3x=1 \Rightarrow x=\frac{13}{3},\qquad y=7-2\cdot\frac{13}{3}=-\frac53. \]
Если \(u^3=8\), \(v^3=1\): \[ 14-3x=8 \Rightarrow x=2,\qquad y=7-2\cdot2=3. \]
Проверка
Для \((2;3)\): \[ \sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{1}=2+1=3,\qquad 2\cdot2+3=7. \]
Для \(\left(\frac{13}{3};-\frac53\right)\): \[ \sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{8}=1+2=3,\qquad 2\cdot\frac{13}{3}-\frac53=7. \]
Оба решения подходят. Главный приём — замена кубических корней новыми переменными и использование формулы суммы кубов.
Обсуждение
4 сообщенияОткуда у нас взялось уравнение с т?
Это следует из теоремы Виета — обратной её части.
Мы нашли два факта: \[ u+v=3,\qquad uv=2. \]
Если составить квадратное выражение с корнями \(u\) и \(v\), то \[ (t-u)(t-v)=t^2-(u+v)t+uv. \] Подставляем найденные сумму и произведение: \[ t^2-3t+2=0. \]
То есть \(t\) — это «вспомогательная переменная», которая пробегает значения \(u\) и \(v\). Не \(u\) и \(v\) равны какому-то одному \(t\), а корни этого уравнения и есть \(u\) и \(v\).
Правило коротко: если у двух чисел сумма \(S\), а произведение \(P\), то они — корни уравнения \[ t^2-St+P=0. \]
Решаем: \[ t^2-3t+2=0, \] \[ D=9-8=1, \] \[ t=\frac{3\pm1}{2}. \] Значит, \(t=2\) или \(t=1\). Отсюда \(u\) и \(v\) равны \(1\) и \(2\) в каком-то порядке — именно это и дало два случая с \(x\) и \(y\).
Реши 4
Решаю систему 4 из того же блока, где было задание 3:
\[ \begin{cases} \sqrt{\dfrac{3x-2y}{2x}}+\sqrt{\dfrac{2x}{3x-2y}}=2,\\[6pt] x^2-8y^2=18-18y. \end{cases} \]
Ответ: \[ (6;3),\qquad \left(3;\frac32\right). \]
Решение
Обозначим \[ t=\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}>0. \] Тогда второе слагаемое равно \(\frac1t\), и первое уравнение принимает вид \[ t+\frac1t=2. \] Умножим на \(t\): \[ t^2-2t+1=0, \] \[ (t-1)^2=0, \] значит \(t=1\).
Следовательно, \[ \frac{3x-2y}{2x}=1, \] \[ 3x-2y=2x, \] \[ x=2y. \]
Подставляем \(x=2y\) во второе уравнение: \[ (2y)^2-8y^2=18-18y, \] \[ 4y^2-8y^2=18-18y, \] \[ -4y^2=18-18y. \] Перенесём всё в одну сторону: \[ 4y^2-18y+18=0. \] Разделим на \(2\): \[ 2y^2-9y+9=0. \] Дискриминант: \[ D=81-72=9. \] Тогда \[ y=\frac{9\pm3}{4}. \] Получаем \[ y=3 \quad \text{или} \quad y=\frac32. \]
Находим \(x=2y\): \[ y=3 \Rightarrow x=6; \] \[ y=\frac32 \Rightarrow x=3. \]
Проверка
Для \((6;3)\): \[ \frac{3x-2y}{2x}=\frac{18-6}{12}=1, \] поэтому первый корень равен \(1\), второй тоже \(1\), их сумма \(2\). Второе уравнение: \[ 36-72=-36,\qquad 18-54=-36. \]
Для \(\left(3;\frac32\right)\): \[ \frac{3x-2y}{2x}=\frac{9-3}{6}=1. \] Второе уравнение: \[ 9-8\cdot\frac94=9-18=-9, \] \[ 18-18\cdot\frac32=18-27=-9. \]
Оба решения подходят.
