реши отмеченные задания

№ 735 (пункты 1 и 2)

Тангенс возрастает на каждом промежутке \((-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k)\). Значит, если два угла лежат на одном таком промежутке, то большему углу соответствует большее значение тангенса.

1) \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}\) и \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\)

Оба угла лежат в \((-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2})\). Сравним их: \[ \frac{\pi}{5}>\frac{\pi}{7} \] Тангенс здесь возрастает, поэтому \[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{5}>\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}. \]

2) \(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\) и \(\operatorname{tg}\frac{8\pi}{9}\)

Оба угла лежат в \((\frac{\pi}{2};\ \pi)\) — это тоже промежуток возрастания тангенса. Сравним углы: \[ \frac{7}{8}=\frac{63}{72},\qquad \frac{8}{9}=\frac{64}{72}, \] значит \[ \frac{7\pi}{8}<\frac{8\pi}{9}. \] Так как на \((\frac{\pi}{2};\pi)\) тангенс возрастает, то \[ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}<\operatorname{tg}\frac{8\pi}{9}. \]

Проверка (через период): \(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}=\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{8})\), \(\operatorname{tg}\frac{8\pi}{9}=\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{9})\). Так как \(-\frac{\pi}{8}<-\frac{\pi}{9}\) и на \((-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\) тангенс возрастает, получаем тот же вывод.

Ответ: 1) \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}>\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\); 2) \(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}<\operatorname{tg}\frac{8\pi}{9}\).

Если нужно, так же разберу пункты 3–6.

№ 736 — корни уравнения \(\operatorname{tg} x=a\) на \((-\pi;\,2\pi)\)

Принцип. Общее решение: \(x=\operatorname{arctg} a+\pi k\). Дальше подбираем целые \(k\), при которых \(x\) попадает в интервал \((-\pi;2\pi)\). Для удобства решаем двойное неравенство относительно \(k\).

1) \(\operatorname{tg} x=1\) \[ x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad -\pi<\frac{\pi}{4}+\pi k<2\pi \] \[ -\frac{5}{4}<k<\frac{7}{4}\ \Rightarrow\ k\in\{-1;0;1\} \] Корни: \(-\frac{3\pi}{4};\ \frac{\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4}\).

2) \(\operatorname{tg} x=\sqrt3\) — отмеченный пункт \[ x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\qquad -\pi<\frac{\pi}{3}+\pi k<2\pi \] \[ -\frac{4}{3}<k<\frac{5}{3}\ \Rightarrow\ k\in\{-1;0;1\} \] Корни: \[ k=-1:\ -\frac{2\pi}{3},\qquad k=0:\ \frac{\pi}{3},\qquad k=1:\ \frac{4\pi}{3}. \] При \(k=2\) получаем \(\frac{7\pi}{3}>2\pi\), при \(k=-2\) получаем \(-\frac{5\pi}{3}<-\pi\) — не подходят.

Ответ 2): \(-\frac{2\pi}{3};\ \frac{\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3}\).

3) \(\operatorname{tg} x=-\sqrt3\) \[ x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\qquad -\pi<-\frac{\pi}{3}+\pi k<2\pi \] \[ -\frac{2}{3}<k<\frac{7}{3}\ \Rightarrow\ k\in\{0;1;2\} \] Корни: \(-\frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3}\).

4) \(\operatorname{tg} x=-1\) \[ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad -\pi<-\frac{\pi}{4}+\pi k<2\pi \] \[ -\frac{3}{4}<k<\frac{9}{4}\ \Rightarrow\ k\in\{0;1;2\} \] Корни: \(-\frac{\pi}{4};\ \frac{3\pi}{4};\ \frac{7\pi}{4}\).

Итоговые ответы к № 736:

1. \(-\frac{3\pi}{4};\ \frac{\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4}\)
2. \(-\frac{2\pi}{3};\ \frac{\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3}\)
3. \(-\frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3}\)
4. \(-\frac{\pi}{4};\ \frac{3\pi}{4};\ \frac{7\pi}{4}\)

Проверка: каждый корень отличается от «главного» значения на целое число \(\pi\), а соседние с найденными \(k\) дают значения за границами интервала — значит, все корни из \((-\pi;2\pi)\) найдены.