Решите неравенство |2x − 1| ≤ |4x + 1|.

Краткий ответ: \[ x\in(-\infty;-1]\cup[0;+\infty) \]

Как решать

Обе части неравенства — модули, то есть неотрицательные числа. Поэтому их можно возвести в квадрат, и знак неравенства не изменится: \[ |2x-1|\le|4x+1| \quad\Longleftrightarrow\quad (2x-1)^2\le(4x+1)^2. \]

Перенесём всё в левую часть и применим формулу разности квадратов: \[ (2x-1)^2-(4x+1)^2\le 0, \] \[ \bigl((2x-1)-(4x+1)\bigr)\bigl((2x-1)+(4x+1)\bigr)\le 0, \] \[ (-2x-2)(6x)\le 0. \]

Умножим на \(-1\), при этом знак неравенства меняется: \[ (2x+2)(6x)\ge 0, \] \[ 12x(x+1)\ge 0. \]

Нули выражения: \(x=-1\) и \(x=0\). Это парабола ветвями вверх, поэтому она неотрицательна вне промежутка между корнями: \[ x\le -1 \quad\text{или}\quad x\ge 0. \]

Проверка

• \(x=-1:\ |{-3}|=3\le |{-3}|=3\) — подходит.
• \(x=0:\ |{-1}|=1\le |1|=1\) — подходит.
• \(x=-\tfrac12:\ |{-2}|=2\le |{-1}|=1\) — неверно, поэтому интервал \((-1;0)\) не входит.

Ответ: \[ \boxed{(-\infty;-1]\cup[0;+\infty)} \]

Главный приём для похожих заданий: если обе части неравенства неотрицательны, можно перейти к квадратам и затем разложить разность квадратов на множители.